图形运动过程中的临界问题一、题型特点1.图形位置不确定；2.图形运动具有连续性；3.多以求某一变量的取值范围或最值为主．二、涉及的主要知识点1.几何作图或画函数图象；2.几何计算；3.方程或不等式（组）；三、主要解题思路1.通过画图（或示意图）或直观操作把问题直观化；2.确定运动的起始位置、终止位置或某些特殊位置，化动为静；3.计算临界位置的相应结果，得到相应变量的取值范围或最值．四、例题讲解例1在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A＇处，折痕为PQ，当点A＇在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则BA＇的取值范围是．图3图2图1分析：如图2，解题由画图开始．点A＇在BC边上移动，可首先使点A＇与点B重合，画出相应的图形，如图2所示；再使点A＇与点C重合，画出相应的图形，如图3所示，可知均不满足条件，进而可得出，点P、Q的位置决定BA＇的取值范围．当点P与点B重合时，如图4所示，BA＇值再大，当点Q与点D重合时，如图5所示，BA＇值再小，BA＇的取值范围可求．图5图4-11-\n解：如图4，当点P与点B重合时，BA＇=3．如图5，当点Q与点D重合时，DA＇=5，CA＇=5，BA＇=1．所以BA＇的取值范围是1≤BA＇≤3.例2已知二次函数y=x2+2x+c．（1）当c＝－3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；图4图3图2（2）若－2＜x＜1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．图1解：（1）略．（2）分析：从已知入手，画出图形．由函数的解析式y=x2+2x+c可以得出二次项系数是1，函数图象的形状确定，因为一次项系数是2，所以函数图象的对称轴确定是直线x=－1,故而可知该函数的图象因常数项的变化而沿直线x=－1上下平移．又因为条件－2＜x＜1可知，该二次函数的图象如图1所示．确定一种运动方式，不妨确定为从下向上运动．函数图象与x轴的交点情况为0、1、2、1、0五种情况．确定临界位置分别如图2、图3、图4所示．分别把（1,0）、（－2,0）、（－1,0）代入函数的解析式可得出相应的c值，c的取值范围可求．解：（2）由（1,0）得，0=12+2×1+c，c=－3；由（－2,0）得，0=（－2）2+2×（－2）+c，c=0；由（－1,0）得，0=（－1）2+2×（－1）+c，c=1.所以c的取值范围是－3＜c≤0或c=1.-11-\n图3例3如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两轴的正半轴交于点E、F，求直径EF的范围.图1图2分析：要求直径EF的范围，就是求出EF的最大值与最小值．因为图形位置不确定，找到图形运动的临界位置，画出相应的图形，化动为静．由已知条件“动圆D经过A、O，分别与两轴的正半轴交于点E、F”，可得出点E、F与点O重合是此题的两个临界位置（此时圆心D分别在x、y轴上）．画出对应的图形，如图2、图3所示．由已知条件动圆D经过A、O，可以确定圆心D在线段OA的垂直平分线上，以DO为半径依次画出规范的图形，如图4所示，观察EF的变化规律：当点F从图2中的位置向图3中的位置连续变化时，EF的大小变化是先由大变小，再由小变大，直观得出图3时最大，并猜想最小值在运动过程中的某处．进而猜想圆心D在线段OA上时，FE的值最小，如图5.此猜想的证明如图6，连接OD、DA、OA，由EF=OD+DA，当OD+DA最小时，EF的值最小，又OD+DA≥OA，所以EF得最小值等于OA．图6图5图4-11-\n解：如图5，易知OA=5．如图3，求得EF=；如图4，求得EF=.所以5≤EF＜.五、练习题1．如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，若射线BA绕点B按顺时针方向旋转至，若与⊙O有公共点，则旋转的角度（0°＜＜180°）的范围是．2．已知二次函数y＝2x2＋4x－6．把二次函数y＝2x2＋4x－6的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围．3．已知二次函数和一次函数，设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将直线向上平移个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围．-11-\nABCDPE4.如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．5.在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．备用图-11-\n练习题参考答案:1．60°≤≤120°2．3．4．≤BE＜25．(1)(2)说明:例2是2022年北京市朝阳区九年级综合练习（二）数学试卷第22题；22．已知二次函数．（1）当c＝－3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；（2）若－2＜x＜1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．22.解：（1）由题意，得.当时，.解得，.∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（－3,0），（1，0）.（2）抛物线的对称轴为.①若抛物线与x轴只有一个交点，则交点为（－1，0）.有，解得.②若抛物线与x轴有两个交点，且满足题意，则有当时，≤0，∴≤0，解得≤0.当时，，∴，解得.-11-\n∴≤0.综上所述，c的取值范围是或≤0.练习2是由2022年北京市中考数学试卷第23题改编原题及答案23．已知关于x的一元二次方程2x2＋4x＋k－1＝0有实数根，k为正整数．(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2＋4x＋k－1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围．第23题图23．解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．∵k为正整数，∴k＝1，2，3．(2)当k＝1时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一个根为零；当k＝2时，方程2x2＋4x＋k－1＝0无整数根；当k＝3时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根．综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．当k＝3时，二次函数为y＝2x2＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x2＋4x－6．-11-\n(3)设二次函数y＝2x2＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)．依题意翻折后的图象如图所示．第23题答图当直线经过A点时，可得；当直线经过B点时，可得．由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为．练习3是由2022年北京中考数学试卷第23题改编原题及答案23．已知二次函数在和时的函数值相等。（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；（3）设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，-11-\n的取值范围。23.解：（1）由题意得.解得.二次函数的解析式为.（2）点在二次函数的图象上，.点的坐标为.点在一次函数的图象上，.（3）由题意，可得点的坐标分别为.平移后，点的对应点分别为.将直线平移后得到直线.如图1，当直线经过点时，图象（点除外）在该直线右侧，可得；如图2，当直线经过点时，图象（点除外）在该直线左侧，可得.由图象可知，符合题意的的取值范围是.练习5是2022年北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷第25题（有改动），原题及答案如下:25.在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P-11-\n处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．备用图25.解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，∴PB=，．∵，∴．∴．∴△ABP∽△DPC．∴，即．∴PC=2．（2）①∠PEF的大小不变．理由：过点F作FG⊥AD于点G．∴四边形ABFG是矩形．∴．∴GF=AB=2，．∵，∴．∴．∴△APE∽△GFP.-11-\n∴．∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．即tan∠PEF的值不变．∴∠PEF的大小不变．②.-11-
