课时训练(十九) 等腰三角形(限时:40分钟)|夯实基础|1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°2.如图K19-1,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( )图K19-1A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE3.[2022·昌平二模]如图K19-2,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=55°,点D是斜边AB的中点,那么∠ACD的度数为( )11\n图K19-2A.15°B.25°C.35°D.45°4.如图K19-3,AB∥CD,AC的垂直平分线交CD于点F,交AC于点E,连接AF.若∠BAF=80°,则∠CAF的度数为( )图K19-3A.40°B.50°C.60°D.80°5.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20cm,则AB边长的取值范围是( )A.1cm<AB<4cmB.5cm<AB<10cmC.4cm<AB<8cmD.4cm<AB<10cm6.[2022·门头沟二模]如图K19-4,在△ABC中,点D是BC边上一点且CD=CA,过点A作MN∥BC,∠CAN=48°,∠B=41°,则∠BAD=( )图K19-4A.23°B.24°C.25°D.26°7.[2022·凉山州]如图K19-5,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于12AB长为半径作弧,两弧相交于11\nM,N两点;②作直线MN交BC于D,连接AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C=( )图K19-5A.70°B.60°C.50°D.40°8.[2022·师达中学月考]已知△ABC是等边三角形,边长为4,则BC边上的高是( )A.4B.23C.2D.39.等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是 . 10.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边长为 . 11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为 . 12.[2022·房山一模]一个正方形和两个等边三角形的位置如图K19-6所示,则∠1+∠2+∠3的度数为 . 图K19-613.在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= . 14.[2022·义乌]等腰三角形ABC中,顶角∠A为40°,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC的度数为 . 15.[2022·丰台一模]如图K19-7,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:DE=DF.11\n图K19-716.[2022·通州一模]已知:如图K19-8,在△ABC中,∠B=45°,点D是BC边的中点,DE⊥BC于点D,交AB于点E,连接CE.(1)求∠AEC的度数;(2)请你判断AE,BE,AC三条线段之间的等量关系,并证明你的结论.图K19-811\n|拓展提升|17.[2022·延庆期末]如图K19-9,等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边的中线,点E是AC边的中点.如果点P是AD上的动点,那么EP+CP的最小值为 . 图K19-918.[2022·东城二模]如图K19-10所示,点P位于等边三角形ABC的内部,且∠ACP=∠CBP.图K19-10(1)∠BPC的度数为 °; (2)延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD,CD.①依题意补全图形;②证明:AD+CD=BD;11\n(3)在(2)的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.11\n参考答案1.D2.C [解析]∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵BC=BE,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BAC=∠EBC,因此选C.3.C 4.B5.B [解析]∵在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20cm,∴设AB=AC=xcm,则BC=(20-2x)cm,∴2x>20-2x,20-2x>0,解得5<x<10.故选B.6.C 7.C 8.B9.100° [解析]根据三角形的内角和等于180°,又等腰三角形的一个内角为100°,所以这个100°的内角只能是顶角,故填100°.10.5,5或6,411.63°或27° [解析]在三角形ABC中,设AB=AC,BD⊥AC于点D.①如图①,若三角形是锐角三角形,∠A=90°-36°=54°,此时底角=(180°-54°)÷2=63°;②如图②,若三角形是钝角三角形,∠BAC=36°+90°=126°,此时底角=(180°-126°)÷2=27°.所以等腰三角形底角的度数是63°或27°.12.150°11\n13.23 [解析]如图,过点C作CG⊥AB,垂足为G,连接AD,则AG=BG=2.∴CG=AC2-AG2=42-22=23.∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴12AB×DE+12AC×DF=12AB×CG.∴12×4×DE+12×4×DF=12×4×CG.∴DE+DF=CG=23.14.30°或110° [解析]根据题意作出图形(如图),当点P在AB右侧时,连接AP.∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ABC=∠C=70°,∵AB=AB,AC=PB,BC=PA,∴△ABC≌△BAP,∴∠ABP=∠BAC=40°,∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=30°.当点P'在AB左侧时,同理可得∠ABP'=40°,∴∠P'BC=40°+70°=110°.故答案为30°或110°.11\n15.证明:连接AD.∵AB=AC,D是BC边上的中点,∴∠BAD=∠CAD.∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF.16.解:(1)∵点D是BC边的中点,DE⊥BC,∴DE是BC的垂直平分线.∴EB=EC.∴∠B=∠BCE.∵∠B=45°,∴∠AEC=90°.(2)AE2+BE2=AC2.证明:∵∠AEC=90°,∴△AEC是直角三角形.∴由勾股定理,得AE2+EC2=AC2.∵ED垂直平分BC,∴EB=EC.∴AE2+BE2=AC2.17.3318.解:(1)120(2)①如图所示.11\n②证明:在等边三角形ABC中,∠ACB=60°,∴∠ACP+∠BCP=60°.∵∠ACP=∠CBP,∴∠CBP+∠BCP=60°.∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=120°.∴∠CPD=180°-∠BPC=60°.∵PD=PC,∴△CDP为等边三角形.∵∠ACD+∠ACP=∠ACP+∠BCP=60°,∴∠ACD=∠BCP.在△ACD和△BCP中,AC=BC,∠ACD=∠BCP,CD=CP,∴△ACD≌△BCP(SAS).∴AD=BP.∴AD+CD=BP+PD=BD.(3)如图,作BM⊥AD于点M,BN⊥DC交DC的延长线于点N.11\n∵∠ADB=∠ADC-∠PDC=60°,∴∠ADB=∠CDB=60°.∴BM=BN=32BD=3.又由(2)得AD+CD=BD=2,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AD·BM+12CD·BN=32(AD+CD)=32×2=3.11
