课时训练20等腰三角形限时：30分钟夯实基础1．如图K20－1，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )图K20－1A．5B．6C．8D．102．已知实数x，y满足|x－3|＋y－6＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A．12或15B．12C．15D．以上答案均不对3．[2022·荆州]如图K20－2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )图K20－2A．30°B．45°C．50°D．75°4．[2022·枣庄]如图K20－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为( )11\n图K20－3A．15B．30C．45D．605．[2022·桂林]如图K20－4，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 ． 图K20－46．[2022·长春]如图K20－5，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为 度． 图K20－57．[2022·镇江]如图K20－6，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．(1)求证：△ABE≌△ACF；(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝ °． 11\n图K20－68．[2022·绍兴]数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题．(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．11\n能力提升9．[2022·宁德质检]如图K20－7，已知等腰三角形ABC，AB＝BC，D是AC上一点，线段BE与BA关于直线BD对称，射线CE交射线BD于点F，连接AE，AF，则下列关系式正确的是( )图K20－7A．∠AFE＋∠ABE＝180°B．∠AEF＝12∠ABCC．∠AEC＋∠ABC＝180°D．∠AEB＝∠ACB10．[2022·吉林]我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝12，则该等腰三角形的顶角为 度． 11．[2022·青海]如图K20－8，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠BAC＝25°，则∠BAD＝ ． 图K20－812．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ． 13．如图K20－9，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，FE＝FD．求证：AD＝CE．11\n图K20－9拓展练习14．[2022·厦门质检]在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿∠B的平分线折叠，使点A落在BC边上的点D处，设折痕交AC边于点E，继续沿直线DE折叠，若折叠后，BE与线段DC相交，且交点不与点C重合，则∠BAC的度数应满足的条件是 ． 15．[2022·青海]请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题．(1)探究1：如图K20－10，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．求证：△BCD的面积为12a2．(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE)图K20－1011\n(2)探究2：如图K20－11，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．图K20－11(3)探究3：如图K20－12，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．图K20－1211\n11\n参考答案1．C 2．C3．B [解析]根据三角形的内角和定理，求出∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠ABD＝∠A＝30°，从而得出∠CBD＝45°．4．B [解析]由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积＝12AB·DE＝12×15×4＝30．故选B．5．3 [解析]∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴△BCD是等腰三角形，又∵∠A＝∠ABD＝36°，∴△ABD是等腰三角形，故有3个等腰三角形．6．37 [解析]∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ACB＝(180°－32°)÷2＝74°，由尺规作图知，CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，又∵∠CBD＋∠CDB＝∠ACB，∴∠CDB＝12∠ACB＝37°．7．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF．在△ABE和△ACF中，AB＝AC，∠B＝∠ACF，BE＝CF，∴△ABE≌△ACF．(2)758．解：(1)当∠A为顶角时，∠B＝50°，当∠A为底角时，若∠B为顶角，则∠B＝20°，若∠B为底角，则∠B＝80°，∴∠B＝50°或20°或80°．11\n(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个．②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝180－x2°，若∠A为底角，则∠B＝x°或∠B＝(180－2x)°，当180－x2≠180－2x且180－x2≠x且180－2x≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上①②，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．9．B10．36 [解析]如图，在△ABC中，AB＝AC，设∠A＝α，则∠B＝∠C＝12(180°－α)，由k＝12，可得12(180°－α)＝2α，解出α＝36°．11．70° [解析]∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝25°＋45°＝70°．12．69°或21°13．证明：如图，过点D作DM∥BE，交AC于点M．则有∠MDF＝∠E．在△MDF与△CEF中，11\n∵∠MFD＝∠CFE，FD＝FE，∠MDF＝∠E，∴△MDF≌△CEF，∴DM＝CE．∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DM∥BC，∴∠ADM＝∠B＝60°，∠AMD＝∠ACB＝60°，∴△ADM为等边三角形，∴DM＝AD，∴AD＝CE．14．100°＜∠BAC＜180°15．解：(1)证明：如图，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠A＝45°，又∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝45°，∴∠EDB＝45°，∴∠A＝∠DBE，∠ABC＝∠BDE，由旋转得AB＝DB，∴△ABC≌△BDE(ASA)，∴DE＝BC＝a，∴S△BCD＝12×BC×DE＝12a2．(2)S△BCD＝12a2，理由：如图，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E．∴∠BED＝∠ACB＝90°．∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB＝BD，∠ABD＝90°．∴∠ABC＋∠DBE＝90°．∵∠A＋∠ABC＝90°，11\n∴∠A＝∠DBE．在△ABC和△BDE中，∠ACB＝∠BED，∠A＝∠DBE，AB＝BD，∴△ABC≌△BDE(AAS)．∴BC＝DE＝a．∵S△BCD＝12BC·DE，∴S△BCD＝12a2．(3)如图，过点A作AF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝12BC＝12a．∴∠FAB＋∠ABF＝90°．∵∠ABD＝90°，∴∠ABF＋∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB＝BD．在△AFB和△BED中，∠AFB＝∠E，∠FAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△AFB≌△BED(AAS)，∴BF＝DE＝12a．∵S△BCD＝12BC·DE，∴S△BCD＝12a×12a＝14a2．∴△BCD的面积为14a2．11
