三角形与等腰三角形18三角形与等腰三角形限时:30分钟夯实基础1.如图K18-1所示尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高的是( )图K18-12.长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值可以是( )A.4B.5C.7D.93.在△ABC中,已知∠A=2∠B=3∠C,则三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状无法确定4.如图K18-2,在△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为( )A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°图K18-25.[2022·昆明]在△AOC中,OB交AC于点D,量角器的摆放如图K18-3所示,则∠CDO的度数为( )9\n图K18-3A.90°B.95°C.100°D.120°6.在三角形的三个外角中,锐角最多有 个. 7.[2022·吉林]我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k.若k=12,则该等腰三角形的顶角为 度. 8.如图K18-4,AD是△ABC的中线,G是AD上的一点,且AG=2GD,连接BG.若S△ABC=6,则图中阴影部分的面积是 . 图K18-49.如图K18-5,在△ABC中,∠ADB=100°,∠C=80°,∠BAD=12∠DAC,BE平分∠ABC,求∠BED的度数.图K18-510.[2022·嘉兴]如图K18-6,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.图K18-69\n能力提升11.三角形的两边长分别为2和4,第三边的长为一元二次方程x2-7x+10=0的一根,则这个三角形的周长为( )A.6B.8C.8或11D.1112.如果三角形的三边a,b,c适合(a2-2ac)(b-a)=c2(a-b),那么a,b,c之间满足的关系是 ;有同学分析后判断△ABC是等边三角形,你的判断是 . 13.在同一平面内,已知点P在等边三角形ABC外部,且与等边三角形ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形,则∠APC的度数为 . 14.如图K18-7,已知BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,BE与CF相交于点G.若∠BDC=140°,∠BGC=100°,求∠A的度数.图K18-79\n15.如图K18-8,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长,交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.图K18-816.[2022·哈尔滨]如图K18-9,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足为点F,BF与AC交于点G,∠BGE=∠ADE.(1)如图①,求证:AD=CD;(2)如图②,BH是△ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.图K18-99\n拓展练习17.[2022·义乌]数学课上,张老师举了下面的例题:例1 在等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2 在等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式 在等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.参考答案1.B 2.C 3.C 4.D5.B [解析]由量角器的摆放可知,∠BOA=70°,∠COA=130°.又∵OC=OA,∴∠A=∠C=12(180°-130°)=25°.∴∠CDO=∠BOA+∠A=70°+25°=95°.故选B.6.17.36 [解析]如图,在△ABC中,AB=AC,设∠A=α,则∠B=∠C=12(180°-α).由k=12,可得12(180°-α)=2α,解得α=36°.9\n8.29.解:∵∠ADB=100°,∠C=80°,∴∠DAC=∠ADB-∠C=100°-80°=20°.∵∠BAD=12∠DAC,∴∠BAD=12×20°=10°.在△ABD中,∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=180°-100°-10°=70°.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=12∠ABC=12×70°=35°,∴∠BED=∠BAD+∠ABE=10°+35°=45°.10.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC=90°.∵D为AC的中点,∴DA=DC.又∵DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.11.D12.a=c或a=b △ABC是等腰三角形13.15°或30°或60°或75°或150° [解析]根据点P在等边三角形ABC外部,且与等边三角形ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形,作出如图所示图形,由图可得:∠AP1C=15°,∠AP2C=30°,∠AP3C=60°,∠9\nAP4C=75°,∠AP5C=150°.14.解:如图,连接BC.∵∠BDC=140°,∴∠5+∠6=40°.∵∠BGC=100°,∴∠2+∠5+∠4+∠6=80°.∴∠2+∠4=40°.∵BE,CF分别平分∠ABD,∠ACD,∴∠1=∠2,∠3=∠4.∴∠1+∠3=∠2+∠4=40°,即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=120°.∴∠A=60°.15.证明:如图,过点D作DM∥BE,交AC于点M,则∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,∴△MDF≌△CEF.∴DM=CE.∵△ABC为等边三角形,9\n∴∠A=∠B=∠ACB=60°.∴∠ADM=∠B=60°,∠AMD=∠ACB=60°,∴△ADM为等边三角形.∴DM=AD.∴AD=CE.16.解:(1)证明:∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,∴∠ADE=∠CGF.∵AC⊥BD,BF⊥CD,∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF.∴∠DAE=∠GCF.∴AD=CD.(2)设DE=a,则AE=2DE=2a,EG=DE=a.∴S△ADE=12AE·DE=12·2a·a=a2.∵BH是△ABE的中线,∴AH=HE=a.∵AD=CD,AC⊥BD,∴CE=AE=2a.∴S△ADC=12AC·DE=12·(2a+2a)·a=2a2=2S△ADE.在△ADE和△BGE中,∠AED=∠BEG,DE=GE,∠ADE=∠BGE,∴△ADE≌△BGE(ASA),BE=AE=2a.∴S△ABE=12AE·BE=12·2a·2a=2a2,S△BCE=12CE·BE=12·2a·2a=2a2,S△BHG=12HG·BE=12(a+a)·2a=2a2.综上,面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD,△ABE,△BCE,△BHG.9\n17.解:(1)当∠A为顶角时,∠B=50°.当∠A为底角时,若∠B为顶角,则∠B=20°,若∠B为底角,则∠B=80°.∴∠B=50°或20°或80°.(2)分两种情况:①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,∴∠B的度数只有一个.②当0<x<90时,若∠A为顶角,则∠B=180-x2°,若∠A为底角,则∠B=x°或∠B=(180-2x)°,当180-x2≠180-2x且180-x2≠x且180-2x≠x,即x≠60时,∠B有三个不同的度数.综上①②,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.9
