课时训练(十九) 等腰三角形(限时:30分钟)|夯实基础|1.若等腰三角形的顶角为50°,则它的底角度数为( )A.40°B.50°C.60°D.65°2.等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为( )A.16cmB.17cmC.20cmD.16cm或20cm3.[2022·福建A卷]如图K19-1,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( )图K19-1A.15°B.30°C.45°D.60°7\n4.[2022·雅安]已知:如图K19-2,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,BC=5,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AC于点D,则线段AD的长为( )图K19-2A.22B.23C.5D.65.[2022·凉山州]如图K19-3,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于12AB长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交BC于D,连接AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C=( )图K19-3A.70°B.60°C.50°D.40° 6.如图K19-4,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为( )图K19-4A.6B.7C.8D.97.[2022·绥化]已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为 . 8.[2022·张家界]如图K19-5,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠B的度数为 . 7\n图K19-59.[2022·宁波]如图K19-6,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.图K19-6|拓展提升|10.[2022·淄博]在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= . 7\n7\n参考答案1.D 2.C3.A [解析]∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵AD⊥BC,∴BD=CD,AD是BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB=45°,∴∠ECA=60°-45°=15°.4.C [解析]在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,所以∠ABC=72°,∠A=36°,因为BC=BD,所以∠BDC=72°,所以∠ABD=36°,所以AD=BD=BC=5,故选C.5.C [解析]由作图可知MN为线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∠DAB=∠B=25°,∵∠CDA为△ABD的一个外角,∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°.∵AD=AC,∴∠C=∠CDA=50°.故选择C.6.D [解析]∵∠ABC,∠ACB的平分线相交于点E,∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB.∵MN∥BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB,∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,∴BM=ME,EN=CN.∵MN=ME+EN,∴MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9,故选D.7\n7.50°或80° [解析]当等腰三角形顶角的邻补角为130°时,顶角为180°-130°=50°;当等腰三角形底角的邻补角为130°时,顶角为180°-2×(180°-130°)=80°.故答案为50°或80°.8.15° [解析]∵△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE,∴∠BAD=150°,△ABC≌△ADE,AB=AD,∴△BAD是等腰三角形,∴∠B=∠ADB=12(180°-∠BAD)=15°.9.解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,∴∠DCE=90°,CD=CE.又∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,∵CD=CE,∠ACD=∠BCE,AC=BC,∴△ACD≌△BCE.(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=45°,∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°.又AD=BF,∴BE=BF,∴∠BEF=∠BFE=180°-45°2=67.5°.7\n10.23 [解析]如图,作AG⊥BC于G,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∴AG=32AB=23,连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴12AB·DE+12AC·DF=12BC·AG,∵AB=AC=BC=4,∴DE+DF=AG=23.7
