提分专练(三) 二次函数综合题(18年26题)|类型1| 与角度有关的取值范围的确定1.[2022·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中,将抛物线G1:y=mx2+23(m≠0)向右平移3个单位长度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点.(1)直接写出点A的坐标;(2)过点(0,3)且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点.①当∠BAC=90°时,求抛物线G2的表达式;②若60°<∠BAC<120°,直接写出m的取值范围.15\n2.[2022·燕山一模]如图T3-1①,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶.①15\n②③图T3-1(1)由定义知,取AB中点N,连接MN,MN与AB的关系是 . (2)抛物线y=12x2对应的准碟形必经过B(m,m),则m= ,对应的碟宽AB是 . (3)抛物线y=ax2-4a-53(a>0)对应的碟宽在x轴上,且AB=6.①求抛物线的解析式.②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P(xp,yp),使得∠APB为锐角?若有,请求出yp的取值范围;若没有,请说明理由.15\n|类型2| 与线段有关的取值范围的确定3.[2022·延庆一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧).图T3-2(1)求抛物线的对称轴及点A,B的坐标;(2)点C(t,3)是抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)上一点(点C在对称轴的右侧),过点C作x轴的垂线,垂足为点D.①当CD=AD时,求此抛物线的表达式;②当CD>AD时,求t的取值范围.4.[2022·西城一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=mx2+2mx+m-1(m≠0)与y轴交于点C,抛物线G的顶点为D,直线l:y=mx+m-1(m≠0).15\n图T3-3(1)当m=1时,画出直线l和抛物线G,并直接写出直线l被抛物线G截得的线段长.(2)随着m取值的变化,判断点C,D是否都在直线l上并说明理由.(3)若直线l被抛物线G截得的线段长不小于2,结合函数的图象,直接写出m的取值范围.|类型3| 与图象平移相关的取值范围的确定5.[2022·海淀一模]在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2ax+b的顶点在x轴上,P(x1,m),Q(x2,m)(x1<x2)是此抛物线上的两点.(1)若a=1,①当m=b时,求x1,x2的值;②将抛物线沿y轴平移,使得它与x轴的两个交点间的距离为4,试描述出这一变化过程;(2)若存在实数c,使得x1≤c-1,且x2≥c+7成立,则m的取值范围是 . 15\n6.[2022·大兴一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-(3m+1)x+2m2+m(m>0)与y轴交于点C,与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2.(1)求2x1-x2+3的值;(2)当m=2x1-x2+3时,将此抛物线沿对称轴向上平移n个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边),求n的取值范围(直接写出答案即可).|类型4| 与图象翻折相关的取值范围的确定7.[2022·怀柔一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=nx2-4nx+4n-1(n≠0)与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),与y轴交于点A.图T3-415\n(1)求抛物线顶点M的坐标;(2)若点A的坐标为(0,3),AB∥x轴,交抛物线于点B,求点B的坐标;(3)在(2)的条件下,将抛物线在B,C两点之间的部分沿y轴翻折,翻折后的图象记为G,若直线y=12x+m与图象G有一个交点,结合函数的图象,求m的取值范围.8.[2022·门头沟一模]有一个二次函数满足以下条件:图T3-5①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0),B(x2,y2)(点B在点A的右侧);②对称轴是直线x=3;③该函数有最小值-2.(1)请根据以上信息求出二次函数表达式;(2)将该函数图象x>x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”,平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C(x3,y3),D(x4,y4),E(x5,y5)(x3<x4<x5),结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围.15\n9.[2022·平谷一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+2bx-3的对称轴为直线x=2.图T3-6(1)求b的值;(2)在y轴上有一动点P(0,m),过点P作垂直于y轴的直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1<x2.①当x2-x1=3时,结合函数图象,求出m的值;②把直线PB下方的函数图象沿直线PB向上翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象W,新图象W在0≤x≤5时,-4≤y≤4,求m的取值范围.15\n15\n参考答案1.解:(1)A(3,23).(2)①如图所示,由题意可得AD=23-3=3.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABD=∠BAD=45°.∴BD=AD=3.∴点B的坐标为(0,3).由点B在抛物线G2上,可得m=-33.∴抛物线G2的表达式为y=-33(x-3)2+23,即y=-33x2+2x+3.②-3<m<-39.2.解:(1)MN与AB的关系是MN⊥AB,MN=12AB.(2)m=2,对应的碟宽AB是4.(3)①由已知,抛物线必过(3,0),将其坐标代入y=ax2-4a-53(a>0),得9a-4a-53=0,解得a=13,15\n∴抛物线的解析式是y=13x2-3.②由①知,当P(0,3)或P(0,-3)时,∠APB为直角,∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P,使得∠APB为锐角,yp的取值范围是yp<-3或yp>3.3.解:(1)对称轴:直线x=2,A(1,0),B(3,0).(2)①如图,∵AD=CD,∴AD=3,∴C点坐标为(4,3).将C(4,3)的坐标代入y=ax2-4ax+3a,∴3=16a-16a+3a,∴a=1,∴抛物线的表达式为:y=x2-4x+3.②3<t<4,过程略.4.解:(1)当m=1时,抛物线G的函数表达式为y=x2+2x,直线l的函数表达式为y=x.画出的两个函数的图象如图所示.15\n截得的线段长为2.(2)∵抛物线G:y=mx2+2mx+m-1(m≠0)与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,m-1).∵y=mx2+2mx+m-1=m(x+1)2-1,∴抛物线G的顶点D的坐标为(-1,-1).对于直线l:y=mx+m-1(m≠0),当x=0时,y=m-1,∴点C(0,m-1)在直线l上;当x=-1时,y=m×(-1)+m-1=-1.∴点D(-1,-1)在直线l上,∴无论m取何值,点C,D都在直线l上.(3)m的取值范围是m≤-3或m≥3.5.解:∵抛物线y=x2-2ax+b的顶点在x轴上,∴4b-(-2a)24=0.∴b=a2.(1)∵a=1,∴b=1.∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1.①∵m=b=1,∴x2-2x+1=1,解得x1=0,x2=2.②依题意,设平移后的抛物线为y=(x-1)2+k.15\n∵抛物线的对称轴是直线x=1,平移后与x轴的两个交点之间的距离是4,∴(3,0)是平移后的抛物线与x轴的一个交点,∴(3-1)2+k=0,即k=-4.∴变化过程是:将原抛物线向下平移4个单位.(2)m≥16.6.解:(1)解关于x的一元二次方程x2-(3m+1)x+2m2+m=0,得x=2m+1或x=m.∵m>0,x1<x2,∴x1=m,x2=2m+1.2x1-x2+3=2m-2m-1+3=2.(2)符合题意的n的取值范围是94<n<214.7.解:(1)M(2,-1).(2)B(4,3).(3)∵抛物线y=nx2-4nx+4n-1(n≠0)与y轴交于点A(0,3),∴4n-1=3,∴n=1,∴抛物线的表达式为y=x2-4x+3,则G的表达式为y=x2+4x+3(-4≤x≤-1).令12x+m=x2+4x+3.由Δ=0,得:m=-116.∵抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点C的坐标为(1,0),∴点C关于y轴的对称点C1的坐标为(-1,0).15\n把(-1,0)代入y=12x+m,得:m=12.点B关于y轴的对称点B1的坐标为(-4,3),把(-4,3)代入y=12x+m,得:m=5.∴所求m的取值范围是m=-116或12<m≤5.8.解:(1)由已知条件可知该函数图象的顶点坐标为(3,-2),设二次函数表达式为y=a(x-3)2-2,∵该图象过A(1,0),∴0=a(1-3)2-2,解得a=12,∴表达式为y=12(x-3)2-2.(2)图象略.由已知条件可知直线与图象“G”要有三个交点,①当直线与x轴重合时,有2个交点,由二次函数图象的对称性可求x3+x4=6,∴x3+x4+x5>11;②当直线过y=12(x-3)2-2的图象顶点时,有2个交点,由翻折可以得到翻折后的函数图象为y=-12(x-3)2+2,∴令-12(x-3)2+2=-2,解得x=3+22或x=3-22(舍去),∴x3+x4+x5<9+22.综上所述,11<x3+x4+x5<9+22.15\n9.解:(1)∵抛物线y=-x2+2bx-3的对称轴为直线x=2,∴b=2.(2)①抛物线的表达式为y=-x2+4x-3.∵直线AB平行于x轴,∴A(x1,y),B(x2,y).∵x2-x1=3,∴AB=3.∵对称轴为直线x=2,∴AP=12.∴当x=12时,y=m=-54.②当y=m=-4时,0≤x≤5时,-4≤y≤1;当y=m=-2时,0≤x≤5时,-2≤y≤4;∴m的取值范围为-4≤m≤-2.15
