提分专练(六) 特殊四边形相关的计算与证明(18年21题,17年20题)|类型1| 平行四边形的判定+线段长度1.[2022·通州一模]如图T6-1,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E,AB=BC,F为四边形ABCD外一点,且∠FCA=90°,∠CBF=∠DCB.图T6-1(1)求证:四边形DBFC是平行四边形;(2)如果BC平分∠DBF,∠F=45°,BD=2,求AC的长.26\n2.[2022·石景山二模]如图T6-2,四边形ABCD是矩形,点E在AD边上,点F在AD的延长线上,且BE=CF.图T6-2(1)求证:四边形EBCF是平行四边形;(2)若∠BEC=90°,∠ABE=30°,AB=3,求ED的长.3.[2022·西城一模]如图T6-3,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.图T6-3(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长.26\n4.[2022·房山一模]如图T6-4,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是BC,AB的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE,AF.图T6-4(1)证明:AF=CE;(2)若∠B=30°,AC=2,连接BF,求BF的长.|类型2| 菱形的判定+线段长度26\n5.[2022·顺义一模]如图T6-5,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,连接CF.图T6-5(1)求证:四边形BCFD是菱形;(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.6.[2022·平谷一模]如图T6-6,在▱ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点F,AE⊥BF于点O,交BC于点E,连接EF.图T6-6(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)连接CF,若∠ABC=60°,AB=4,AF=2DF,求CF的长.26\n7.[2022·门头沟一模]如图T6-7,在矩形ABCD中,连接AC,AC的垂直平分线交AC于点O,分别交AD,BC于点E,F,连接CE和AF.图T6-7(1)求证:四边形AECF为菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周长.26\n8.[2022·西城一模]如图T6-8,在△ABD中,∠ABD=∠ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,分别连接BC,DC,AC,记AC与BD的交点为O.图T6-8(1)补全图形,求∠AOB的度数并说明理由.(2)若AB=5,cos∠ABD=35,求BD的长.|类型3| 菱形的判定+图形面积9.[2022·延庆一模]如图T6-9,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.图T6-9(1)求证:四边形DBEC是菱形;(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC面积.26\n10.[2022·大兴一模]如图T6-10,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且DE=OC,CE=OD.图T6-10(1)求证:四边形OCED是菱形;(2)若∠BAC=30°,AC=4,求菱形OCED的面积.11.[2022·怀柔一模]直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D是斜边BC上一点,且AB=AD,过点C作CE⊥AD,交AD26\n的延长线于点E,交AB的延长线于点F.图T6-11(1)求证:∠ACB=∠DCE;(2)若∠BAD=45°,AF=2+2,过点B作BG⊥FC于点G,连接DG.依题意补全图形,并求四边形ABGD的面积.12.[2022·海淀一模]如图T6-12,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=CD.图T6-12(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AD=2,则当四边形ABCD的形状是 时,四边形AOBE的面积最大,最大值是 . 26\n|类型4| 矩形的判定+线段计算13.[2022·石景山一模]如图T6-13,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD=210,CE⊥AD于点E.图T6-13(1)求证:AE=CE;(2)若tanD=3,求AB的长.26\n14.[2022·丰台一模]已知:如图T6-14,菱形ABCD,分别延长AB,CB到点F,E,使得BF=BA,BE=BC,连接AE,EF,FC,CA.(1)求证:四边形AEFC为矩形;(2)连接DE交AB于点G,如果DE⊥AB,AB=4,求DE的长.图T6-1415.[2022·通州一模]如图T6-15,在平行四边形ABCD中,DB⊥AB,点E是BC边的中点,过点E作EF⊥CD,垂足为F,交AB的延长线于点G.图T6-15(1)求证:四边形BDFG是矩形;(2)若AE平分∠BAD,求tan∠BAE的值.26\n16.[2022·朝阳一模]如图T6-16,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,过点A作BC的平行线,过点B作AD的平行线,两直线交于点E.图T6-16(1)求证:四边形ADBE是矩形;(2)连接DE,交AB于点O,若BC=8,AO=52,求cos∠AED的值.26\n参考答案1.解:(1)证明:∵AC⊥BD,∠FCA=90°,∴BD∥CF.∵∠CBF=∠DCB,∴DC∥BF.∴四边形DBFC是平行四边形.(2)由(1)得四边形DBFC是平行四边形,∴CF=BD=2.过点C作CH⊥BF于点H,∵∠F=45°,∴CH=2.∵BC平分∠DBF,∴CH=CE=2,∵AB=BC,BD⊥AC,∴AC=2CE=22.2.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠CDF=90°,AB=DC,AD=BC.在Rt△BAE和Rt△CDF中,AB=DC,BE=CF,∴Rt△BAE≌Rt△CDF.∴∠1=∠F.∴BE∥CF.又∵BE=CF,∴四边形EBCF是平行四边形.26\n(2)∵在Rt△BAE中,∠2=30°,AB=3,∴AE=AB·tan∠2=1,BE=ABcos∠2=2,∠3=60°.在Rt△BEC中,BC=BEcos∠3=2cos60°=4.∴AD=BC=4.∴ED=AD-AE=4-1=3.3.解:(1)证明:∵∠ADE=∠BAD,∴AB∥ED.∵BD垂直平分AC,垂足为F,∴BD⊥AC,AF=FC.又∵AE⊥AC,∴∠EAC=∠DFC=90°,∴AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形.(2)如图,连接BE交AD于点O.∵DA平分∠BDE,∴∠ADE=∠1.又∵∠ADE=∠BAD,∴∠1=∠BAD,∴AB=BD,26\n∴▱ABDE是菱形.∴AD⊥BE.∵AB=5,AD=6,∴BD=AB=5,OA=12AD=3.在Rt△OAB中,OB=AB2-OA2=4.∵S△ABD=12AD·OB=12BD·AF,∴6×4=5AF,解得AF=4.8.∵BD垂直平分AC,∴AC=2AF=9.6.4.解:(1)证明:∵D,E分别是BC,AB的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥AC,AC=2DE.又∵EF=2DE,∴EF=AC,∴四边形ACEF为平行四边形,∴AF=CE.(2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴BC=23,DE=1,∠EDB=90°.∵D为BC中点,∴BD=3.又∵EF=2DE,26\n∴EF=2.∴DF=3.在Rt△BDF中,由勾股定理得BF=BD2+DF2=23.5.解:(1)证明:∵BD=BC,E是CD的中点,∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BD=DF.∵BD=BC,∴DF=BC.又∵DF∥BC,∴四边形BCFD是平行四边形.又∵BD=BC,∴▱BCFD是菱形.(2)∵∠A=90°,AD=1,BD=BC=2,∴AB=BD2-AD2=3.∵四边形BCFD是菱形,∴DF=BC=2,∴AF=AD+DF=3,∴BF=AB2+AF2=3+9=23.26\n6.解:(1)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.∵▱ABCD,∴AD∥BC.∴∠AFB=∠CBF.∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°.∴∠BAO=∠BEO.∴AB=BE.∴AF=BE.∴四边形ABEF是平行四边形.∴▱ABEF是菱形.(2)∵AD=BC,AF=BE,∴DF=CE.∴BE=2CE.∵AB=4,∴BE=4.∴CE=2.过点A作AG⊥BC于点G.26\n∵∠ABC=60°,AB=BE,∴△ABE是等边三角形.∴BG=GE=2.∴AF=CG=4.∴四边形AGCF是平行四边形.∴▱AGCF是矩形.∴AG=CF.在Rt△ABG中,∠ABC=60°,AB=4,∴AG=23.∴CF=23.7.解:(1)证明:∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=OC,∠AOE=∠COF=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.在△AEO和△CFO中,∵∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形,又∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形.(2)设AF=x,∵EF是AC的垂直平分线,26\n∴AF=CF=x,BF=8-x,在Rt△ABF中,由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴AF=5,∴菱形AECF的周长为20.8.解:(1)补全的图形如图所示.∠AOB=90°.理由:由题意可知BC=AB,DC=AB.∵在△ABD中,∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴BC=DC=AD=AB,∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOB=90°.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OB=OD.在Rt△ABO中,∠AOB=90°,AB=5,cos∠ABD=35,∴OB=AB·cos∠ABD=3,26\n∴BD=2OB=6.9.解:(1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC,∴四边形DBEC是平行四边形.在Rt△ABC中,∵D是AC的中点,∠ABC=90°,∴BD=DC,∴四边形DBEC是菱形.(2)∵F是AB的中点,D是AC的中点,∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90°,在Rt△AFD中,AF=AD2-DF2=32-1=22.∴S△DBC=12BC×BF=12×2×22=22,∴S菱形DBEC=2S△DBC=42.10.解:(1)证明:∵DE=OC,CE=OD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OC=12AC,OD=12BD.∴OC=OD.∴平行四边形OCED是菱形.(2)在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,AC=4,∴BC=2.26\n∴AB=DC=23.如图,连接OE,交CD于点F.∵四边形OCED为菱形,∴F为CD中点.∵O为BD中点,∴OF=12BC=1.∴OE=2OF=2.∴S菱形OCED=12OE·CD=12×2×23=23.11.解:(1)证明:∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.∵∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠CDE.∵∠BAC=90°,∴∠ABD+∠ACB=90°.∵CE⊥AE,∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE.(2)补全图形,如图所示:26\n∵∠BAD=45°,∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°,∠F=∠ACF=45°.∵AE⊥CF,BG⊥CF,∴AD∥BG.∵BG⊥CF,∠BAC=90°且∠ACB=∠DCE,∴AB=BG.∵AB=AD,∴BG=AD,∴四边形ABGD是平行四边形.∵AB=AD,∴平行四边形ABGD是菱形.设AB=x,则BG=GD=AD=x,∴BF=2BG=2x.∴AB+BF=x+2x=2+2,∴x=2.过点B作BH⊥AD于H,∴BH=22AB=1.∴S四边形ABGD=AD×BH=2.12.解:(1)证明:∵AE∥BD,BE∥AC,26\n∴四边形AEBO是平行四边形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB.∵OE=CD,∴OE=AB.∴平行四边形AEBO是矩形.∴∠BOA=90°,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.(2)正方形;2.13.解:(1)证明:(法一)过点B作BH⊥CE于H,如图.∵CE⊥AD,∴∠BHC=∠CED=90°,∠1+∠D=90°.∵∠BCD=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠D.又BC=CD,∴△BHC≌△CED.∴BH=CE.26\n∵BH⊥CE,CE⊥AD,∠A=90°,∴四边形ABHE是矩形,∴AE=BH.∴AE=CE.(法二)过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H.图略,证明略.(2)∵四边形ABHE是矩形,∴AB=HE.∵在Rt△CED中,tanD=CEDE=3,设DE=x,CE=3x,∴CD=10x=210.∴x=2.∴DE=2,CE=6.∵CH=DE=2.∴AB=HE=6-2=4.14.解:(1)证明:∵BF=BA,BE=BC,∴四边形AEFC为平行四边形.∵四边形ABCD为菱形,∴BA=BC,∴BF=BE.∴BA+BF=BC+BE,即AF=EC.∴四边形AEFC为矩形.26\n(2)连接DB.由(1)知,AD∥EB,且AD=EB,∴四边形AEBD为平行四边形.∵DE⊥AB,∴四边形AEBD为菱形.∴AE=EB,AB=2AG,ED=2EG.∵矩形AEFC中,EB=AB,AB=4,∴AG=2,AE=4.∴Rt△AEG中,EG=23.∴ED=43.15.解:(1)证明:∵BD⊥AB,EF⊥CD,∴∠ABD=90°,∠EFD=90°.在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD=90°,∴BD∥GF.∴四边形BDFG为平行四边形.又∵∠BDC=90°,∴四边形BDFG为矩形.26\n(2)∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∵AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∴∠BAE=∠BEA,∴BA=BE.∵在Rt△BDC中,点E为BC边的中点,∴BE=ED=EC.又∵在▱ABCD中,AB=CD,∴△ECD为等边三角形,∠C=60°,∴∠BAE=12∠BAD=30°,∴tan∠BAE=33.16.解:(1)证明:∵AE∥BC,BE∥AD,∴四边形ADBE是平行四边形.∵AB=AC,AD是BC边的中线,∴AD⊥BC.即∠ADB=90°.∴四边形ADBE为矩形.(2)∵在矩形ADBE中,AO=52,∴AB=DE=5.∵D是BC的中点,BC=8,26\n∴DB=4,∴AE=4.∴在Rt△AED中,cos∠AED=AEDE=45.26
