提分专练(四) 方程、不等式与函数的综合|类型1| 函数与方程1.[2022·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.2.[2022·上海]一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图像如图T4-1所示.(1)求y关于x的函数关系式(不需要写自变量的取值范围);(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油.在此行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?10\n图T4-13.[2022·台州]如图T4-2,函数y=x的图像与函数y=kx(x>0)的图像相交于点P(2,m).(1)求m,k的值;(2)直线y=4与函数y=x的图像相交于点A,与函数y=kx(x>0)的图像相交于点B,求线段AB长.图T4-24.[2022·云南]已知二次函数y=-316x2+bx+c的图像经过A(0,3),B-4,-92两点.(1)求b,c的值.(2)二次函数y=-316x2+bx+c的图像与x轴是否存在公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由.10\n|类型2| 函数与不等式5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A(4,0),B(2,8),且以直线x=1为对称轴.(1)求此函数的解析式,并作出它的示意图;(2)当0<x<4时,写出y的取值范围;(3)结合图像直接写出不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集.图T4-310\n6.[2022·枣庄]如图T4-4,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图像与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=nx(n为常数,且n≠0)的图像在第二象限交于点C,CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)记两函数图像的另一个交点为E,求△CDE的面积;(3)直接写出不等式kx+b≤nx的解集.图T4-47.[2022·襄阳]如图T4-5,已知双曲线y1=kx与直线y2=ax+b交于点A(-4,1)和点B(m,-4).(1)求双曲线和直线的解析式;(2)直接写出线段AB的长和y1>y2时x的取值范围.10\n图T4-58.如图T4-6,抛物线y1=ax2+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P在抛物线上,过P(1,-3),B(4,0)两点作直线y2=kx+b.(1)求a,c的值;(2)根据图像直接写出y1>y2时,x的取值范围;(3)在抛物线上是否存在点M,使得S△ABP=5S△ABM?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图T4-610\n参考答案1.解:(1)证明:联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.10\n(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-2,x2=1+2.设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=12·OC·|xA|+12·OC·|xB|=12·OC·|xA-xB|=12×1×22=2.2.解:(1)设一次函数的关系式是y=kx+b,由图像知,点(0,60)与点(150,45)在一次函数图像上,将其坐标代入函数关系式,得b=60,150k+b=45,解之,得b=60,k=-110,故y=-110x+60.(2)当y=8时,-110x+60=8,解之,得x=520.30-(520-500)=10(千米).∴汽车开始提示加油时,离加油站的路程是10千米.3.解:(1)把P(2,m)代入y=x得m=2,∴P(2,2),把P(2,2)代入y=kx得k=4,∴反比例函数的解析式为y=4x.(2)当y=4时,代入y=x得x=4,∴A(4,4);将y=4代入y=4x得x=1,所以AB=4-1=3.4.解:(1)∵二次函数y=-316x2+bx+c的图像经过A(0,3),B-4,-92两点,∴c=3,-316×(-4)2-4b+c=-92,解得b=98,c=3,∴b=98,c=3.(2)由(1)知,b=98,c=3.∴该二次函数为y=-316x2+98x+3.在y=-316x2+98x+3中,当y=0时,0=-316x2+98x+3,解得x1=-2,x2=8,∴二次函数y=-316x2+bx+c的图像与x轴有两个公共点,分别为(-2,0),(8,0).10\n5.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A(4,0),B(2,8),且以直线x=1为对称轴,∴-b2a=1,16a+4b+c=0,4a+2b+c=8,解得a=-1,b=2,c=8,∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,∴抛物线与x轴的交点为(-2,0),(4,0),顶点坐标为(1,9),二次函数的图像如图所示.(2)由图可知,当0<x<4时,0<y≤9.(3)根据函数图像可知,不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为-2<x<4.6.解:(1)∵OB=2OA=3OD=12,∴OA=6,OB=12,OD=4,∴A(6,0),B(0,12),点D的横坐标为-4,把点A,点B的坐标代入y=kx+b得0=6k+b,b=12,∴k=-2,一次函数的解析式为y=-2x+12.点C与点D的横坐标相同,代入y=-2x+12得点C的纵坐标为20,即C(-4,20),∴20=n-4,n=-80,∴反比例函数的解析式为y=-80x.10\n(2)由y=-2x+12和y=-80x得-2x+12=-80x,解得x1=-4,x2=10,∴E(10,-8),∴△CDE的面积为12×20×(10+4)=140.(3)由图像可得-4≤x<0或x≥10.7.解:(1)∵双曲线y1=kx经过点A(-4,1),∴k=-4×1=-4,∴双曲线的解析式为y1=-4x.∵双曲线y1=-4x经过点B(m,-4),∴-4m=-4,∴m=1,∴B(1,-4).∵直线y2=ax+b经过点A(-4,1)和点B(1,-4),∴-4a+b=1,a+b=-4,解得a=-1,b=-3,∴直线的解析式为y2=-x-3.(2)AB=52,y1>y2时,x的取值范围是-4<x<0或x>1.提示:由两点间距离坐标公式得AB=(-4-1)2+(1+4)2=52.在图像中找出双曲线在直线上方的部分,确定这部分x的取值范围是-4<x<0或x>1.8.解:(1)将P(1,-3),B(4,0)代入y=ax2+c得:16a+c=0,a+c=-3,解得a=15,c=-165.10\n(2)由图像得x>4或x<1.(3)在抛物线上存在点M,使得S△ABP=5S△ABM,理由是:抛物线的解析式是y=15x2-165.设M点的纵坐标为e,∵P(1,-3),∴由S△ABP=5S△ABM得:12AB×|-3|=5×12AB×|e|,解得|e|=35,所以e=±35.当e=35时,15x2-165=35,解得x=±19,当e=-35时,15x2-165=-35,解得x=±13,即M点的坐标是19,35,-19,35,13,-35,-13,-35.10
