提分专练(三) 一次函数与反比例函数综合1.[2022·济宁]如图T3-1,点A是反比例函数y=4x(x>0)图象上一点,直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C.过点A作AD⊥x轴,垂足为D,连接DC,若△BOC的面积是4,则△DOC的面积是 . 图T3-12.[2022·安顺]如图T3-2,已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,与y=k2x的图象相交于A(-2,m),B(1,n)两点,连接OA,OB,给出下列结论:①k1k2<0;②m+12n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式k1x+b>k2x的解集是x<-2或0<x<1,其中正确结论的序号是 . 图T3-23.[2022·广州]一次函数y=ax+b和反比例函数y=a-bx在同一直角坐标系中的大致图象是( )12\n图T3-34.如图T3-4,已知反比例函数y=kx的图象与直线y=-x+b都经过点A(1,4),且该直线与x轴的交点为B.(1)求反比例函数和直线的解析式;(2)求△AOB的面积.图T3-45.[2022·遂宁]如图T3-5所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于第二、四象限A,B两点,过点A作AD⊥x轴于D,AD=4,sin∠AOD=45,且点B的坐标为(n,-2).(1)求一次函数与反比例函数的解析式;12\n(2)E是y轴上一点,且△AOE是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的E点坐标.图T3-56.[2022·内江]如图T3-6,已知A(-4,2),B(n,-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y=mx的图象上的两个交点.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;12\n(2)求△AOB的面积;(3)观察图象,直接写出不等式kx+b-mx>0的解集.图T3-612\n7.[2022·菏泽]如图T3-7,已知点D在反比例函数y=ax的图象上,过点D作DB⊥y轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+b经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OC∶OA=2∶5.(1)求反比例函数y=ax和一次函数y=kx+b的表达式;(2)直接写出关于x的不等式ax>kx+b的解集.图T3-712\n8.[2022·黄冈]已知:如图T3-8,一次函数y=-2x+1与反比例函数y=kx的图象有两个交点A(-1,m)和B,过点A作AE⊥x轴,垂足为点E;过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,且点D的坐标为(0,-2),连接DE.(1)求k的值;(2)求四边形AEDB的面积.12\n图T3-812\n参考答案1.23-2 [解析]根据直线y=kx+b与两坐标轴分别交于B,C两点,则点B的坐标为-bk,0,点C的坐标为(0,b),而△BOC的面积为4,则12·bk·b=4,即k=b28,则直线的表达式为y=b28x+b.设点A的坐标为m,4m,则b28·m+b=4m,即b2m2+8bm=32,解得bm=43-4(负值舍去),∵S△COD=12CO·DO=12bm=23-2,因此本题答案为23-2.2.②③④ [解析]由图象知,k1<0,k2<0,∴k1k2>0,故①错误;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k2x中得k2=-2m=n,∴m+12n=0,故②正确;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k1x+b中得m=-2k1+b,n=k1+b,解得k1=n-m3,b=2n+m3.∵-2m=n,∴y=-mx-m.∵直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,∴P(-1,0),Q(0,-m).∴OP=1,OQ=m.∴S△AOP=12m,S△BOQ=12m,即S△AOP=S△BOQ,故③正确;由图象知,不等式k1x+b>k2x的解集是x<-2或0<x<1,故④正确.故②③④正确.3.A [解析]由选项A,B中直线的位置,可知a>0,b>0,而当x=-1时,y=-a+b<0,从而a-b>0,反比例函数图象应该在第一、三象限,故选项B错误;由选项C,D中直线的位置,可知a<0,b>0,而当x=-1时,y=-a+b>0,从而a-b<0,反比例函数图象应该在第二、四象限,故选项C,D错误.故答案为A.4.解:(1)把(1,4)代入y=kx,得k=1×4=4,所以反比例函数的解析式为y=4x.把(1,4)代入y=-x+b,得-1+b=4,解得b=5,所以直线的解析式为y=-x+5.(2)当y=0时,-x+5=0,解得x=5,则B(5,0),所以△AOB的面积为12×5×4=10.5.解:(1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A,B两点,且AD⊥x轴于D,∴∠ADO=90°,在Rt△ADO中,AD=4,sin∠AOD=45,∴ADAO=45,12\n∴AO=5,由勾股定理得:DO=AO2-AD2=52-42=3,∴A(-3,4),把A(-3,4)代入y=mx中得m=-12,∴反比例函数的解析式为y=-12x.又∵B点在反比例函数y=-12x的图象上,∴n×(-2)=-12,∴n=6,∴B(6,-2),把A(-3,4),B(6,-2)代入y=kx+b中得-3k+b=4,6k+b=-2,解得k=-23,b=2,∴一次函数的解析式为y=-23x+2.(2)E点坐标分别为E1(0,8),E2(0,5),E3(0,-5),E40,258.6.解:(1)把A(-4,2)代入y=mx,得m=2×(-4)=-8.所以反比例函数的解析式为y=-8x.把B(n,-4)代入y=-8x,得-4n=-8,解得n=2.把A(-4,2)和B(2,-4)代入y=kx+b,得-4k+b=2,2k+b=-4.解得k=-1,b=-2.所以一次函数的解析式为y=-x-2.(2)在y=-x-2中,令y=0,则x=-2,即直线y=-x-2与x轴交于点C(-2,0),12\n∴OC=2.∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×2+12×2×4=6.(3)由图可得,不等式kx+b-mx>0的解集为x<-4或0<x<2.7.解:(1)∵A(5,0),∴OA=5.∵OC∶OA=2∶5,∴OC=2,∴C(0,-2).∵B(0,3),BD=OC,∴D(-2,3).∵D(-2,3)在反比例函数y=ax的图象上,∴3=a-2,∴a=-6,∴反比例函数的表达式为y=-6x.由A(5,0),C(0,-2)在直线y=kx+b上,得5k+b=0,b=-2,解得k=25,b=-2.∴一次函数的表达式为y=25x-2.(2)x<0.理由:两函数表达式组成方程组,得y=-6x,y=25x-2,整理得x2-5x+15=0,12\n∵Δ=(-5)2-4×15=25-60=-35<0,∴一元二次方程x2-5x+15=0无实数根,即反比例函数y=-6x与一次函数y=25x-2的图象无交点.∴当x<0时,反比例函数y=-6x的图象在一次函数y=25x-2的图象的上方;当x>0时,反比例函数y=-6x的图象在一次函数y=25x-2的图象的下方;∴不等式ax>kx+b的解集是x<0.8.解:(1)将点A(-1,m)代入一次函数y=-2x+1得,-2×(-1)+1=m,∴m=3.∴A点的坐标为(-1,3).将A(-1,3)代入y=kx得,k=(-1)×3=-3.(2)如图,设直线AB与y轴相交于点M,则点M(0,1).∵点D(0,-2),∴MD=3.又∵A(-1,3),AE∥y轴,∴E(-1,0),AE=3.∴AE∥MD,AE=MD.∴四边形AEDM为平行四边形.∵BD∥x轴,且D(0,-2),12\n∴把y=-2代入y=-2x+1,得x=32,∴B32,-2.∴S四边形AEDB=S△MDB+S平行四边形AEDM=12×32×3+3×1=214.12
