课时训练(十九) 全等三角形和等腰三角形|夯实基础|1.如图19-21,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )图19-21A.∠A=∠CB.AD=CBC.BE=DFD.AD∥BC2.[2022·怀化]等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为( )A.16cmB.17cmC.20cmD.16cm或20cm3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的顶角为( )A.50°B.130°C.50°或130°D.40°或140°4.[2022·荆门]如图19-22,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为( )图19-22A.5B.6C.8D.1015\n5.[2022·南充]如图19-23,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为( )图19-23A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)6.[2022·湖州]如图19-24,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是( )图19-24A.20°B.35°C.40°D.70°7.[2022·德州]如图19-25,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于12AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )图19-25A.65°B.60°C.55°D.45°8.如图19-26,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为( )15\n图19-26A.48°B.36°C.30°D.24°9.[2022·泰安]如图19-27,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是边PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=44°,则∠P的度数为( )图19-27A.44°B.66°C.88°D.92°10.[2022·包头]如图19-28,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为( )图19-28A.17.5°B.12.5°C.12°D.10°11.[2022·南充]如图19-29,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为( )图19-2915\nA.1B.2C.3D.1+312.[2022·湖州]如图19-30,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E.若BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于( )图19-30A.10B.7C.5D.413.[2022·淄博]如图19-31,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( )图19-31A.4B.6C.43D.814.[2022·淮安]如图19-32,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有( )图19-32A.1个B.2个C.3个D.3个以上15.如图19-33,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,有下面四个结论:15\n图19-33①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是( )A.②③B.②④C.①③④D.②③④16.[2022·金华]如图19-34,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是 . 图19-3417.[2022·成都]等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角的度数为 . 18.[2022·北京]如图19-35,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM= . 图19-3519.[2022·长沙]如图19-36,在△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则△BCE的15\n周长为 . 图19-3620.如图19-37,在△ABC中,AB=AC,BC=5,BD为AC边上的中线,且将△ABC的周长分成两部分,这两部分的差为3,则腰长为 . 图19-3721.如图19-38,矩形ABCD的周长为16,点E,F分别在边AD,AB上,EF=EC,∠FEC=90°.若DE=2,则AE= . 图19-3822.[2022·扬州]如图19-39,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC.若BP=4cm,则EC= cm. 图19-3923.[2022·包头]如图19-40,将△ABC纸片的一角沿DE向下翻折,使点A落在BC边上的点A'处,且DE∥BC.下列结论:①∠AED=∠C;②A'DDB=A'EEC;③BC=2DE;④S四边形ADA'E=S△DBA'+S△EA'C.其中正确的有 个. 15\n图19-4024.[2022·宁夏]如图19-41,在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M,N.(1)求证:不论点P在BC边的何处,都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;(2)当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大,并求出最大值.图19-4125.[2022·莱芜]已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.(1)如图19-42①所示,连接AE,BD.试判断线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由;15\n(2)如图19-42②所示,连接BD,将线段BD绕点D顺时针旋转90°到DF,连接AF,试判断线段DE和AF的数量和位置关系,并说明理由.图19-42|拓展提升|26.如图19-43,在△ABC中,AB=AC,AD,BE分别为∠BAC和∠ABC的平分线,交点为O.若OD=a,△ABC的周长为b,则△ABC的面积为( )图19-4315\nA.12abB.abC.2abD.b2a27.如图19-44,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,以AB的中点D为圆心,作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在EF上,设∠BDF=α(0°<α<90°),当α由小到大变化时,图中阴影部分的面积( )图19-44A.由小变大 B.由大变小C.不变 D.先由小变大,后由大变小28.[2022·包头一模]如图19-45,等边三角形ABC的边长为9cm,点M,N同时从点A出发,均以1cm/s的速度分别沿AB,AC向点B,C运动,设运动时间为ts,以MN为边,在等边三角形ABC内部作正方形MNPQ,当点P到BC边的距离等于(33-3)cm时,t= . 图19-4529.[2022·包头样题三]如图19-46,O是等边三角形ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO',连接AO',下列结论:①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O'的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO'=6+33;⑤S△AOC+S△AOB=6+943.其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号) 15\n图19-46参考答案1.B 2.C 3.C 4.C5.D [解析]过点B作BC⊥OA于点C,则OC=1,BC=OB2-OC2=22-12=3,∴点B的坐标为(1,3).故选D.6.B [解析]∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,∴∠ACD=70°.∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=35°.故选B.7.A8.A [解析]∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC.∵EF是BC的垂直平分线,∴FB=FC,∴∠FCB=∠DBC.∵∠ABD=24°,∴∠FCB=∠DBC=∠ABD=24°.又∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,即∠ABD+∠DBC+∠ACF+∠FCB=120°,∴∠ACF=120°―24°―24°―24°=48°.故选A.9.D10.D [解析]由∠C+∠BAC=145°得∠B=35°.由AB=AC知∠B=∠C=35°.由等腰直角三角形的性质可得∠AED=45°.又∵∠AED=∠EDC+∠C,∴∠EDC=45°-35°=10°.11.A15\n12.C [解析]过点E作EK⊥BC于点K.因为BE平分∠ABC,CD⊥AB,所以EK=ED=2,所以△BCE的面积=12BC·EK=12×5×2=5.故选C.13.B [解析]∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB.∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=12∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC.∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=12∠AMC,∴∠AMN=12∠ACB=12∠ANM.∵∠A=90°,∴∠AMN=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3.∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,故选B.14.D15.D16.答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等 [解析]已知两角对应相等,可考虑全等三角形的判定方法ASA或AAS.故答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等.17.50°或80°18.3 [解析]由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.由M,N分别为AC,BC的中点,得CMAC=CNBC=12,∴S△CMNS△ABC=CMAC2=14.∵S△CMN=1,∴S△ABC=4S△CMN=4,∴S四边形ABNM=3.19.13 20.8 21.322.(2+23) [解析]根据“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=43.根据折叠的性质可以得到∠DPE=∠A=60°,DP=DA=43,易得∠EPC=30°,∠PEC=90°,所以EC=12PC=12(8+43-4)=2+23.23.4 [解析]由折叠的性质可得AD=A'D,AE=A'E.∵DE∥BC,∴∠AED=∠C,故①正确.∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC,∴A'DDB=A'EEC,故②正确.15\n∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠A'DE=∠BA'D.由折叠的性质,得∠ADE=∠A'DE,∴∠B=∠BA'D,∴BD=A'D=AD,即D是AB的中点.同理E是AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE,故③正确.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴S△ADES△ABC=DEBC2=14,∴S△ADE=S△A'DE=14S△ABC,∴S四边形ADA'E=S△DBA'+S△EA'C=12S△ABC,故④正确.故答案为4.24.[解析](1)连接AP,将△ABC分割成两个三角形,结合等边三角形的三条边相等,利用面积公式,即可求证结论;(2)设BP的长为x,利用面积的和差关系,将四边形AMPN的面积S用含x的代数式表示,将几何问题转换成代数式求最值问题,在此即是S关于x的二次函数,运用配方法求出最值.解:(1)证明:连接AP.∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC.设BC边上的高为h.∵PM⊥AB,PN⊥AC,∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=12AB·PM+12AC·PN=12BC·(PM+PN).15\n又∵S△ABC=12BC·h,∴PM+PN=h,即不论点P在BC边的何处,都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.(2)设BP=x.在Rt△BMP中,∠BMP=90°,∠B=60°,BP=x,∴BM=BP·cos60°=12x,MP=BP·sin60°=32x,∴S△BMP=12BM·MP=12·12x·32x=38x2.∵PC=2-x,同理可得:S△PNC=38(2-x)2.又∵S△ABC=34×22=3,∴S四边形AMPN=S△ABC-S△BMP-S△PNC=3-38x2-38(2-x)2=-34(x-1)2+334,∴当BP=1时,四边形AMPN的面积最大,是334.25.[解析](1)通过证明Rt△ACE≌Rt△BCD即可解决;(2)通过证明△EBD≌△ADF即可得解.解:(1)AE=BD,AE⊥BD.理由:由题意可知,CA=CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD=90°,∴Rt△ACE≌Rt△BCD,∴AE=BD.如图①,延长DB交AE于点M.∵Rt△ACE≌Rt△BCD,15\n∴∠AEC=∠BDC.又∵∠AEC+∠EAC=90°,∴∠BDC+∠EAC=90°,∴在△AMD中,∠AMD=180°-90°=90°,∴AE⊥BD.(2)DE=AF,DE⊥AF.理由:如图②,设ED与AF相交于点N,由题意可知,BE=AD.∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC,∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC,∴∠EBD=∠ADF.又∵DB=FD,∴△EBD≌△ADF,∴DE=AF,∠E=∠FAD.∵∠E=45°,∴∠FAD=45°.又∠EDC=45°,∴∠AND=90°,∴DE⊥AF.26.A15\n27.C [解析]如图,设DE与AC交于点N,DF与BC交于点M,连接DC.∵CA=CB,D为AB的中点,∴DC⊥AB.∵∠ACB=90°,∴BD=DC=AD,∴∠B=∠DCN=45°.∵∠BDM+∠MDC=90°,∠MDC+∠CDN=90°,∴∠BDM=∠CDN,∴△BDM≌△CDN.同理,△AND≌△CMD,∴S四边形MDNC=S△BDM+S△ADN=12S△ABC,∴图中阴影部分的面积S=S扇形DEF-S四边形MDNC=S扇形DEF-12S△ABC.∵旋转过程中扇形DEF和△ABC的面积不会改变,∴阴影部分的面积大小不变.故选C.28.329.①②③⑤15
