圆练习题一、选择题(每小题3分,共30分)1.☉O的半径为4cm,若点P到圆心的距离为3cm,则点P在( )A.圆内B.圆上C.圆外D.无法确定2.如图J5-1,在☉O中,C是弧AB的中点,∠A=50°,则∠BOC=( )图J5-1A.40°B.45°C.50°D.60°3.如图J5-2,在半径为5cm的☉O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC的长为( )图J5-2A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm4.如图J5-3,A,D是☉O上的两个点,BC是直径,若∠D=32°,则∠OAC的度数为( )图J5-3A.64°B.58°16\nC.72°D.55°5.半径为6,圆心角为120°的扇形的面积是( )A.3πB.6πC.9πD.12π6.如图J5-4所示为4×4的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是( )图J5-4A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心7.如图J5-5,在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,以点D为圆心,菱形的高DF为半径画弧,交AD于点E,交CD于点G,则图中阴影部分的面积是( )图J5-5A.183-9π B.18-3πC.93-9π2 D.183-3π8.如图J5-6,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则CD的长为( )16\n图J5-6A.2B.1C.2D.49.如图J5-7,已知☉O是等腰直角三角形ABC的外接圆,D是AC上一点,BD交AC于点E,若BC=4,AD=45,则AE的长是( )图J5-7A.3B.2C.1D.1.210.如图J5-8,PA,PB是☉O的切线,切点为A,B,AC是☉O的直径,OP与AB相交于点D,连接BC.下列结论:①∠APB=2∠BAC;②OP∥BC;③若tanC=3,则OP=5BC;④AC2=4OD·OP.其中正确的结论有( )图J5-8A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(每小题3分,共30分)11.如图J5-9,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,若∠BCD=28°,则∠ABD= °. 16\n图J5-912.如图J5-10,在平行四边形ABCD中,AB为☉O的直径,☉O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,∠C=60°,则弧FE的长为 . 图J5-1013.如图J5-11,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为 . 图J5-1114.如图J5-12,四边形ABCD内接于☉O,AB是直径,过点C的切线与AB的延长线交于点P,若∠P=40°,则∠D的度数为 . 图J5-1215.如图J5-13,在☉O中,弦AC=23,B是圆上一点,且∠ABC=45°,则☉O的半径R= . 16\n图J5-1316.如图J5-14,正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O,则劣弧AB的长度为 . 图J5-1417.☉O的半径为1,弦AB=2,弦AC=3,则∠BAC的度数为 . 18.如图J5-15,在平面直角坐标系xOy中,☉M经过原点O,分别交y轴,x轴于A,B两点,C是☉M上的一点,∠BCO=30°,OB=23,则点M的坐标为 . 图J5-1519.如图J5-16,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E,则图中阴影部分的面积是 (结果保留π). 图J5-1620.小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺按如图J5-17所示放置于桌面上,此时,光盘分别与AB,CD相切于点N,M.现从如图所示的位置开始,将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时,光盘的圆心移动的距离是 . 16\n图J5-17三、解答题(共40分)21.(6分)如图J5-18,AB是半圆O的直径,P是BA延长线上一点,PC是☉O的切线,切点为C.过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D,连接BC.求证:(1)∠PBC=∠CBD;(2)BC2=AB·BD.图J5-1822.(7分)如图J5-19,AC是☉O的直径,BC是☉O的弦,P是☉O外一点,连接PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C.16\n(1)求证:PB是☉O的切线;(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,☉O的半径为22,求BC的长.图J5-1923.(7分)如图J5-20,过正方形ABCD顶点B,C的☉O与AD相切于点E,与CD相交于点F,连接EF.(1)求证:FE平分∠BFD;(2)若tan∠FBC=34,DF=5,求EF的长.16\n图J5-2024.(8分)如图J5-21,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,☉O经过A,B,D三点.(1)求证:AB是☉O的直径;(2)判断DE与☉O的位置关系,并加以证明;(3)若☉O的半径为3,∠BAC=60°,求DE的长.图J5-2116\n25.(12分)如图J5-22①,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.(1)求证:∠ACD=∠B.(2)如图②,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F.①求tan∠CFE的值;②若AC=3,BC=4,求CE的长.图J5-2216\n参考答案1.A 2.A3.B [解析]连接OA.∵AB=6cm,OC⊥AB,∴AC=12AB=3cm.又∵☉O的半径为5cm,∴OA=5cm.在Rt△AOC中,OC=AO2-AC2=52-32=4(cm).故选B.4.B 5.D 6.B7.A [解析]图中阴影部分的面积等于菱形的面积减去扇形EDG的面积.菱形ABCD的面积=AB·DF,在直角三角形DAF中,由已知AD=6,∠DAB=60°,求出DF=AD·sin60°=33,∴菱形ABCD的面积=6×33=183;扇形EDG的面积=180-60360×π·(33)2=9π.∴图中阴影部分的面积=183-9π.8.A [解析]∵∠A=15°,∴∠BOC=2∠A=30°.∵☉O的直径AB垂直于弦CD,∴CE=DE=12OC=1,∴CD=2CE=2.9.C10.A [解析]设OP与☉O交于点E,连接OB,∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,∠PAO=∠PBO=90°,则在Rt△APO和Rt△BPO中,∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△APO≌Rt△BPO(HL),∴∠APB=2∠APO=2∠BPO,∠AOE=∠BOE,∴∠AOP=∠C,∴OP∥BC,故②正确;∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∴∠BAC+∠C=90°.∵∠PAO=90°,∴∠APO+∠AOP=90°,即∠C+∠APO=90°,∴∠APO=∠BAC,∴∠APB=2∠APO=2∠BAC,故①正确;∵tanC=3,∴tan∠AOP=3,则在Rt△ABC中,ABBC=3,则AB=3BC,故AC=(3BC)2+BC2=10BC,在Rt△APO中,APAO=3,则AP=3OA,故OP=(3OA)2+OA2=10OA=10×12AC=10×12×10BC=5BC,故③正确;∵OA=OC,OP∥BC,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=12BC,即BC=2OD,在△ABC和△PAO中,∵∠OAP=∠ABC=90°,∠AOP=∠C,∴△ABC∽△PAO,∴ACOP=BCOA,∴ACOP=2OD12AC,∴ACOP=4ODAC,∴AC2=4OD·OP,故④正确.故选A.16\n11.6212.π [解析]如图,连接OE,OF,∵CD是☉O的切线,∴OE⊥CD,∴∠OED=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,∴∠A=∠C=60°,∠D=120°.∵OA=OF,∴∠A=∠OFA=60°,∴∠DFO=120°,∴∠EOF=360°-∠D-∠DFO-∠DEO=30°,∴EF的长=30π180×6=π.故答案为π.13.23 [解析]作CE⊥AB于点E,在Rt△BCE中求出BE的长,再根据垂径定理可以求出BD的长.如图,作CE⊥AB于点E.则∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-130°=30°.在Rt△BCE中,∵∠CEB=90°,∠B=30°,BC=2,∴CE=12BC=1,BE=3CE=3.∵CE⊥BD,∴DE=EB,∴BD=2EB=23.故答案为23.14.115°16\n15.6 [解析]由∠ABC=45°,可得出∠AOC=90°,根据OA=OC就可以结合勾股定理求出OC的长.∵∠ABC=45°,∴∠AOC=90°.∵OA=OC=R,∴R2+R2=(23)2,解得R=6.故答案为6.16.π 17.15°或75° 18.(3,3)19.6-π [解析]S阴影=S矩形ABCD-S扇形ADE=3×2-90π×22360=6-π.故答案为6-π.20.43321.[解析](1)连接OC,运用切线的性质,可得出∠OCD=90°,从而证明OC∥BD,得到∠CBD=∠OCB,再根据半径相等得出∠OCB=∠PBC,等量代换得到∠PBC=∠CBD.(2)连接AC.要得到BC2=AB·BD,需证明△ABC∽△CBD,故从证明∠ACB=∠BDC,∠PBC=∠CBD入手.证明:(1)连接OC,∵PC是☉O的切线,∴∠OCD=90°.又∵BD⊥PC,∴∠BDP=90°,∴OC∥BD,∴∠CBD=∠OCB.∵OB=OC,∴∠OCB=∠PBC,∴∠PBC=∠CBD.(2)连接AC.∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°.又∵∠BDC=90°,∴∠ACB=∠BDC.∵∠PBC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD,16\n∴ABBC=BCBD,∴BC2=AB·BD.22.解:(1)证明:如图所示,连接OB.∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∴∠C+∠BAC=90°.∵OA=OB,∴∠BAC=∠OBA.∵∠PBA=∠C,∴∠PBA+∠OBA=90°,即PB⊥OB,∴PB是☉O的切线.(2)∵☉O的半径为22,∴OB=22,AC=42.∵OP∥BC,∴∠BOP=∠OBC=∠C.又∵∠ABC=∠PBO=90°,∴△ABC∽△PBO,∴BCOB=ACOP,即BC22=428,∴BC=2.23.解:(1)证明:连接OE,∵☉O与AD相切,∴OE⊥AD,∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=90°,∴OE∥CD,∴∠OEF=∠EFD.16\n∵OE=OF,∴∠OEF=∠OFE,∴∠OFE=∠EFD,∴FE平分∠BFD.(2)过点O作OG⊥CD于点G,∴四边形OEDG是矩形,∴OG=ED.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠C=90°.∵tan∠FBC=34,DF=5,∴CFBC=34,∴CF=35,BC=45,∴BF=55.∵△FOG∽△FBC,∴BC=2OG,∴OG=25,∴ED=25,∴EF=ED2+DF2=5.24.解:(1)证明:如图,连接AD.∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,∴AB是☉O的直径.(2)DE与☉O相切,证明如下:连接OD.16\n∵O,D分别是BA,BC的中点,∴OD∥AC.∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.∴DE与☉O相切.(3)∵∠BAC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形.∴BC=AB=6,∠C=60°,∴DC=12BC=3.∴DE=DC·sinC=3×32=332.25.解:(1)证明:如图,连接OC.∵OA=OC,∴∠1=∠2.∵CD是半圆O的切线,∴OC⊥CD,∴∠DCO=90°,∴∠3+∠2=90°.∵AB是半圆O的直径,∴∠1+∠B=90°,∴∠3=∠B,即∠ACD=∠B.(2)①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,∴∠CEF=∠CFE.∵∠ECF=90°,∴∠CEF=∠CFE=45°,∴tan∠CFE=tan45°=1.②在Rt△ABC中,∵AC=3,BC=4,∴AB=AC2+BC2=5.16\n∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,∴△DCA∽△DBC,∴DCDB=DACD=ACBC=34.∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,∴△DCE∽△DBF,∴ECFB=DCDB.设EC=CF=x,∴x4-x=34,∴x=127.∴CE=127.16
