课时训练(二十八) 直线与圆的位置关系|夯实基础|1.如图28-10,∠O=30°,C为OB上一点,且OC=6,以点C为圆心,3为半径的圆与直线OA的位置关系是( )图28-10A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况均有可能2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心,2.5cm为半径画圆,则☉C与直线AB的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定3.如图28-11,AB是☉O的直径,直线PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点C,连接BC,若∠P=40°,则∠ABC的度数为( )图28-11A.20°B.25°C.40°D.50°4.如图28-12,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为( )19\n图28-12A.65°B.130°C.50°D.100°5.[2022·昆区三模]如图28-13,已知AB为☉O的直径,AD切☉O于点A,BC=CE,则下列结论不一定正确的是( )图28-13A.BA⊥DAB.OC∥AEC.∠COE=2∠CAED.OD⊥AC6.如图28-14,在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是( )图28-14A.32B.1C.2D.237.[2022·烟台]如图28-15,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数是( )19\n图28-15A.56°B.62°C.68°D.78°8.如图28-16,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,∠CDB=30°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则sinE的值为( )图28-16A.12B.32C.22D.339.[2022·包头样题三]如图28-17,PA,PB分别切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于点C,D,连接PO,若☉O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APO的值为( )图28-17A.32B.23C.21313D.3131310.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,R为半径作☉C.当R 时,☉C与直线AB相交;当R 时,☉C与直线AB相切;当R 时,☉C与直线AB相离. 11.[2022·长沙]如图28-18,点A,B,D在☉O上,∠A=20°,BC是☉O的切线,B为切点,OD的延长线交BC于点C,则∠OCB= °. 19\n图28-1812.[2022·连云港]如图28-19,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,已知∠OAB=22°,则∠OCB= °. 图28-1913.[2022·安徽]如图28-20,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,若点D是AB的中点,则∠DOE= °. 图28-2014.[2022·连云港]如图28-21,线段AB与☉O相切于点B,线段AO与☉O相交于点C,AB=12,AC=8,则☉O的半径长为 . 图28-2115.[2022·包头]如图28-22,已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,若∠A=30°,PC=3,则BP的长为 . 19\n图28-2216.如图28-23所示,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,∠P=80°,则圆周角∠ACB= 度. 图28-2317.如图28-24,PA,PB,CD分别为☉O的切线,切点分别为A,B,E,其中CD⊥PB于点D,交PA于点C.若CD=3,PD=4,则☉O的半径为 . 图28-2418.[2022·金华、丽水]如图28-25,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB的长为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)若BC=8,tanB=12,求☉O的半径.图28-2519\n19.[2022·南充]如图28-26,C是☉O上一点,点P在直径AB的延长线上,☉O的半径为3,PB=2,PC=4.(1)求证:PC是☉O的切线;(2)求tan∠CAB的值.图28-2619\n20.[2022·成都]如图28-27,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;(3)若BE=8,sinB=513,求DG的长.图28-2721.[2022·包头]如图28-28,已知在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,且与BP交于点E.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)过点C作CF⊥AD,垂足为F,延长CF交AB于点G,若AG·AB=12,求AC的长;(3)在满足(2)的条件下,若AF∶FD=1∶2,GF=1.求☉O的半径及sin∠ACE的值.19\n图28-2822.[2022·包头]如图28-29,AB是☉O的直径,D是AE上的一点,且∠BDE=∠CBE,BD与AE相交于点F.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:DE2=DF·DB;(3)在(2)的条件下,延长ED,BA交于点P,若PA=AO,DE=2,求PD的长和☉O的半径.19\n图28-29|拓展提升|23.如图28-30,在正方形ABCD中,E为AD的中点,AF⊥BE交BE于点G,交CD于点F,连接CG并延长交AD于点H.下列结论:①CG=CB;②HEBC=14;③EGGF=13;④以AB为直径的圆与CH相切于点G.其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号) 19\n图28-3019\n参考答案1.C 2.A 3.B4.C 5.D 6.B7.C [解析]∵点I是△ABC的内心,∴AI,CI是△ABC的角平分线,∴∠AIC=90°+12∠B=124°,∴∠B=68°.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B=68°.故选C.8.A9.B10.>125 =125 <12511.50 [解析]∠A=20°,由圆周角定理,得∠O=2∠A=40°,因为BC与☉O相切,所以OB⊥BC,∠OBC=90°,所以Rt△OBC中,∠OCB=90°-∠O=50°.12.44 [解析]如图,连接OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=22°,∴∠AOB=136°.∵OC⊥OA,∴∠AOC=90°,∴∠COB=46°.∵CB是☉O的切线,∴∠OBC=90°,∴∠OCB=90°-46°=44°.13.60 [解析]如图,连接OA,19\n∵四边形ABOC是菱形,∴BA=BO.∵AB与☉O相切于点D,∴OD⊥AB.∵D是AB的中点,∴OD是AB的垂直平分线,∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOD=12∠AOB=30°.同理∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,故答案为60.14.5 [解析]连接OB,根据切线的性质可知OB⊥AB,设☉O的半径为r,然后根据勾股定理可得r2+122=(r+8)2,解得r=5.15.3 16.13017.218.解:(1)证明:如图,连接OD.19\n∵OB=OD,∴∠3=∠B.∵∠B=∠1,∴∠3=∠1.在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°,∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°,∴OD⊥AD.∵OD是☉O的半径,∴AD是☉O的切线.(2)设☉O的半径为r.在Rt△ABC中,AC=BC·tanB=8×12=4,∴AB=AC2+BC2=42+82=45,∴OA=45-r.在Rt△ACD中,tan∠1=tanB=12,∴CD=AC·tan∠1=4×12=2,∴AD2=AC2+CD2=42+22=20.在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,∴(45-r)2=r2+20,解得r=325.故☉O的半径是325.19.解:(1)证明:如图,连接OC.∵☉O的半径为3,∴OC=OB=3.又∵PB=2,∴OP=5.19\n在△OCP中,OC2+PC2=32+42=52=OP2,∴△OCP为直角三角形,∠OCP=90°,∴OC⊥PC.∵OC是☉O的半径,∴PC是☉O的切线.(2)如图,过点C作CD⊥OP于点D,则∠ODC=∠OCP=90°.∵∠COD=∠POC,∴△OCD∽△OPC,∴ODOC=OCOP=CDPC,∴OD=OC2OP=95,CD4=35,∴CD=125,∴AD=OA+OD=245,∴在Rt△CAD中,tan∠CAB=CDAD=12.20.[解析](1)连接OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到∠DAC=∠ODA,得OD∥AC,切线得证;(2)连接EF,DF,根据直径所对的圆周角为直角,证明∠AFE=90°,可得EF∥BC,因此∠B=∠AEF,再利用同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠ADF,从而证明△ABD∽△ADF,可得AD与AB,AF的关系;(3)根据∠AEF=∠B,利用三角函数,分别在Rt△DOB和Rt△AFE中求出☉O的半径和AF,代入(2)的结论中,求出AD,再利用两角对应相等,证明△OGD∽△FGA,再利用对应边成比例,求出DG∶AG的值,即可求得DG的长.解:(1)证明:如图,连接OD.∵OA=OD,19\n∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠DAC,∴∠DAC=∠ODA,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.∵OD为☉O的半径,∴BC是☉O的切线.(2)如图,连接EF,DF.∵AE为☉O的直径,∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°,∴EF∥BC,∴∠B=∠AEF.∵∠ADF=∠AEF,∴∠B=∠ADF.又∵∠OAD=∠DAC,∴△ABD∽△ADF,∴ABAD=ADAF,∴AD2=AB·AF,∴AD=xy.(3)设☉O的半径为r,在Rt△DOB中,sinB=ODOB=513,∴rr+8=513,解得r=5,∴AE=10.在Rt△AFE中,sin∠AEF=sinB=AFAE,∴AF=10×513=5013,∴AD=18×5013=301313.∵∠ODA=∠DAC,∠DGO=∠AGF,19\n∴△OGD∽△FGA,∴DGAG=ODAF=1310,∴DGAD-DG=1310,∴DG=302313.21.解:(1)证明:如图,连接CD.∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°.∵∠PAC=∠PBA,∠ADC=∠PBA,∴∠PAC=∠ADC,∴∠CAD+∠PAC=90°,∴PA⊥OA.∵OA是☉O的半径,∴PA是☉O的切线.(2)由(1)知PA⊥AD.又∵CF⊥AD,∴CF∥PA,∴∠GCA=∠PAC.又∵∠PAC=∠PBA,∴∠GCA=∠PBA,而∠CAG=∠BAC,∴△CAG∽△BAC,∴AC2=AG·AB.∵AG·AB=12,∴AC2=12,∴AC=23.(3)设AF=x,∵AF∶FD=1∶2,∴FD=2x,∴AD=AF+FD=3x.在Rt△ACD中,19\n∵CF⊥AD,∴AC2=AF·AD,即12=3x2,∴x=2(负值已舍去),∴AF=2,AD=6,∴☉O的半径为3.在Rt△AFG中,∵AF=2,GF=1,∴根据勾股定理,得AG=AF2+GF2=22+12=5.由(2)知,AG·AB=12,∴AB=12AG=1255.如图,连接BD.∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=90°.在Rt△ABD中,∵sin∠ADB=ABAD,AD=6,AB=1255,∴sin∠ADB=255.∵∠ACE=∠ACB=∠ADB,∴sin∠ACE=255.22.解:(1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°.∵∠BDE=∠EAB,∠BDE=∠CBE,∴∠EAB=∠CBE,∴∠ABE+∠CBE=90°,∴CB⊥AB.∵AB是☉O的直径,∴BC是☉O的切线.(2)证明:∵BD平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE,∴AD=DE,∴∠DEA=∠DBE.又∵∠EDF=∠BDE,19\n∴△DEF∽△DBE,∴DEDB=DFDE,∴DE2=DF·DB.(3)如图,连接AD,OD.∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD.又∵∠EBD=∠OBD,∴∠EBD=∠ODB,∴OD∥BE,∴PDPE=POPB.∵PA=AO,∴PA=AO=OB,∴POPB=23,∴PDPE=23,∴PDPD+DE=23.∵DE=2,∴PD=4.∵∠PDA+∠ADE=180°,∠ABE+∠ADE=180°,∴∠PDA=∠ABE.∵OD∥BE,∴∠AOD=∠ABE,∴∠PDA=∠AOD.∵∠P=∠P,∴△PDA∽△POD,∴PDPO=PAPD.设OA=x,∴PA=x,PO=2x,∴42x=x4,∴2x2=16,x=22(负值已舍去),∴OA=22.即PD的长为4,☉O的半径为22.19\n23.①②③④19
