课时训练(二十七) 圆的基本概念和性质(限时:30分钟)|夯实基础|1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点2.如图K27-1,在半径为5cm的☉O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=( )图K27-1A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm3.如图K27-2,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若∠ACO=50°,则∠B的度数为( )图K27-2A.60°B.50°C.40°D.30°4.[2022·苏州]如图K27-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( )13\n图K27-3A.92°B.108°C.112°D.124°5.如图K27-4所示,点P在以AB为直径的半圆O内,连接AP,BP,并延长分别交半圆于点C,D,连接AD,BC,并延长交于点F,作直线PF,与AB交于点E,下列说法一定正确的是( )图K27-4①AC垂直平分BF;②AC平分∠BAF;③FP⊥AB;④BD⊥AF.A.①③B.①④C.②④D.③④6.[2022·无锡]如图K27-5,点A,B,C都在☉O上,OC⊥OB,点A在劣弧BC上,且OA=AB,则∠ABC= . 图K27-57.[2022·南通]如图K27-6,AB是☉O的直径,点C是☉O上的一点,若BC=3,AB=5,OD⊥BC于点D,则OD的长为 . 图K27-613\n8.[2022·嘉兴]如图K27-7,量角器的0度刻度线为AB,将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D,量得AD=10cm,点D在量角器上的读数为60°,则该直尺的宽度为 cm. 图K27-79.[2022·扬州]如图K27-8,☉O是△ABC的外接圆,直径AD=4,∠ABC=∠DAC,则AC的长为 . 图K27-810.[2022·盐城]如图K27-9,将☉O沿弦AB折叠,点C在AmB上,点D在AB上,若∠ACB=70°,则∠ADB= °. 图K27-911.[2022·南京]如图K27-10,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°,则∠EAC= . 图K27-1013\n12.如图K27-11,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深度为 m. 图K27-1113.[2022·安徽]如图K27-12,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.图K27-1214.如图K27-13,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上的点,AC的垂直平分线交半圆于点D,交AC于点E,连接DA,DC,已知半圆O的半径为3,BC=2.(1)求AD的长;13\n(2)点P是线段AC上一动点,连接DP,作∠DPF=∠DAC,PF交线段CD于点F,当△DPF为等腰三角形时,求AP的长.图K27-13|拓展提升|15.[2022·武汉]如图K27-14,在☉O中,点C在优弧AB上,将BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若☉O的半径为5,AB=4,则BC的长是( )图K27-14A.23B.32C.532D.65216.如图K27-15所示,☉O的半径是2,直线l与☉O相交于A,B两点,M,N是☉O上的两个动点,且在直线l的异侧.若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是 . 13\n图K27-1517.[2022·内江]如图K27-16,在☉O中,直径CD垂直于不过圆心O的弦AB,垂足为点N,连接AC,点E在AB上,且AE=CE.(1)求证:AC2=AE·AB;(2)过点B作☉O的切线交EC的延长线于点P,试判断PB与PE是否相等,并说明理由;(3)设☉O的半径为4,点N为OC中点,点Q在☉O上,求线段PQ的最小值.图K27-1613\n参考答案1.D [解析]到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点,故选D.2.B [解析]如图,连接OA.∵AB=6cm,OC⊥AB,∴AC=12AB=3cm.又∵☉O的半径为5cm,∴OA=5cm.在Rt△AOC中,OC=AO2-AC2=52-32=4(cm).13\n3.C 4.C [解析]∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=CD,∴∠B=12∠COE,∴∠COE=68°,∴∠F=112°,故选C.5.D [解析]如图,连接CD.∵AB是半圆O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,即BD⊥AF,AC⊥BF,故④正确.∴∠FDP=∠FCP=90°,∴D,P,C,F四点共圆,∴∠DFP=∠DCP.∵∠DCP=∠ABD,∴∠ABD=∠DFP.∵∠FDP=90°,∴∠DFP+∠DPF=90°.∵∠DPF=∠BPE,∴∠EBP+∠BPE=90°,即∠PEB=90°.∴FP⊥AB,即③正确.故选D.6.15° [解析]∵OC⊥OB,OB=OC,∴∠CBO=45°.∵OB=OA=AB,∴∠ABO=60°.∴∠ABC=∠ABO-∠CBO=60°-45°=15°.7.213\n8.533 [解析]连接OC,OC与AD相交于点E,连接OD,∵直尺一边与量角器相切于点C,∴OC⊥AD,∵AD=10,∠DOB=60°,∴∠DAO=30°,∴OE=533,OA=1033,∴CE=OC-OE=OA-OE=533.9.22 [解析]连接CD,如图所示:∵∠B=∠DAC,∴AC=CD,∴AC=CD,∵AD为直径,∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=4,∴AC=CD=22AD=22×4=22.10.110 [解析]如图,设点D'是点D折叠前的位置,连接AD',BD',则∠ADB=∠AD'B.在圆内接四边形ACBD'中,∠ACB+∠D'=180°,所以∠D'=180°-70°=110°,所以∠ADB=110°.13\n11.27° [解析]∵四边形ABCD是菱形,∴AD=DC,AD∥BC,∴∠DAC=∠DCA.∵∠D=78°,∴∠DAC=51°,∴∠ACE=51°.∴CD=AE,∴ED=AC,∴∠DAE=∠D=78°,∴∠EAC=78°-51°=27°.12.0.8 [解析]如图,设圆柱形排水管道截面圆的圆心为O,过点O作OC⊥AB,C为垂足,交☉O于点D,E,连接OA.由题意知OA=0.5m,AB=0.8m.∵OC⊥AB,∴AC=BC=0.4m.在Rt△AOC中,OA2=AC2+OC2,∴OC=0.3m,则CE=0.3+0.5=0.8(m),故答案为0.8.13.证明:(1)根据圆周角定理知∠E=∠B,又∵∠B=∠D,∴∠E=∠D,又∵AD∥CE,∴∠D+∠DCE=180°,∴∠E+∠DCE=180°,∴AE∥DC,∴四边形AECD为平行四边形.(2)如图,连接OE,OB,由(1)得四边形AECD为平行四边形,∴AD=EC,∵AD=BC,∴EC=BC,13\n∵OC=OC,OE=OB,∴△OCE≌△OCB(SSS),∴∠ECO=∠BCO,即CO平分∠ECB.14.解:(1)如图①,连接OD,因为半圆O的半径为3,所以OA=OB=OD=3,因为BC=2,所以AC=8,因为DE垂直平分AC,所以DA=DC,AE=4,∠DEO=90°,OE=1,在Rt△DOE中,DE=DO2-OE2=22,在Rt△ADE中,AD=AE2+DE2=26.(2)因为△PDF为等腰三角形,因此分类讨论:①当DP=DF时,如图②,A与P重合,F与C重合,则AP=0;②当PD=PF时,如图③,因为∠DPF=∠A=∠C,∠PDF=∠CDP,所以△PDF∽△CDP,因为PD=PF,所以CP=CD,所以CP=26,AP=AC-PC=8-26;③当FP=FD时,如图④,因为△FDP和△DAC都是等腰三角形,∠DPF=∠A,所以∠FDP=∠DPF=∠A=∠C,所以设DP=x,则PC=x,EP=4-x,在Rt△DEP中,DE2+EP2=DP2,13\n得(22)2+(4-x)2=x2,解得x=3,则AP=5.综上所述,当△DPF为等腰三角形时,AP的长为0或8-26或5.15.B [解析]连接AC,DC,OA,OD,OC,过C作CE⊥AB于E,过O作OF⊥CE于F,在BC上任取一点H,连接CH,BH,∵BC沿BC折叠,∴∠CDB=∠H,∵∠H+∠A=180°,∠CDA+∠CDB=180°,∴∠A=∠CDA,∴CA=CD,∵CE⊥AD,∴AE=ED=1,∵OA=5,AD=2,∴OD=1,∵OD⊥AB,OF⊥CE,∴四边形OFED为正方形,∴OF=1,又OC=5,∴CF=2,CE=3,∴CB=32.16.42 [解析]如图所示,过点O作OC⊥AB于点C,交☉O于D,E两点,连接OA,OB,DA,DB,EA,EB.∵∠AMB=45°,∴∠AOB=2∠AMB=90°,∴△OAB为等腰直角三角形,∴AB=2OA=22.∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB,∴当点M到AB的距离最大时,△MAB的面积最大,当点N到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,即当点M运动到点D,点N运动到点E时,四边形MANB的面积最大,最大值为S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=12AB·CD+12AB·CE=12AB(CD+CE)=12AB·DE=12×22×4=42,故答案为42.17.解:(1)证明:如图,连接BC,∵CD⊥AB,∴CB=CA,∴∠CAB=∠CBA.又∵AE=CE,∴∠CAE=∠ACE.∴∠ACE=∠ABC.∵∠CAE=∠BAC,∴△CAE∽△BAC.∴ACAB=AEAC,即AC2=AE·AB.(2)PB=PE.理由如下:如图,连接BD,OB.∵CD是直径,∴∠CBD=90°.∵BP是☉O的切线,∴∠OBP=90°.∴∠BCD+∠D=∠PBC+∠OBC=90°.13\n∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∴∠PBC=∠D.∵∠A=∠D,∴∠PBC=∠A.∵∠ACE=∠ABC,∠PEB=∠A+∠ACE,∠PBN=∠PBC+∠ABC,∴∠PEB=∠PBN.∴PE=PB.(3)如图,连接PO交☉O于点Q,则此时线段PQ有最小值.∵N是OC的中点,∴ON=2.∵OB=4,∴∠OBN=30°,∴∠PBE=60°.∵PE=PB,∴△PEB是等边三角形.∴∠PEB=60°,PB=BE.在Rt△BON中,BN=OB2-ON2=42-22=23.在Rt△CEN中,EN=CNtan60°=23=233.∴BE=BN+EN=833.∴PB=BE=833.∴PQ=PO-OQ=OB2+PB2-OQ=42+(833) 2-4=4321-4.13
