圆的基本概念及性质25圆的基本概念及性质限时:30分钟夯实基础1.把一张圆形纸片按如图K25-1所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则BC的度数是( )图K25-1A.120°B.135°C.150°D.165°2.如图K25-2,经过原点O的☉P与x轴,y轴分别交于A,B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB等于( )图K25-2A.80°B.90°C.100°D.无法确定3.如图K25-3,点A,B,C,P在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为点D,E.若∠DCE=40°,则∠P的度数为( )10\n图K25-3A.140°B.70°C.60°D.40°4.如图K25-4,在☉O中,直径AB⊥弦CD,垂足为M,则下列结论一定正确的是( )图K25-4A.AC=CDB.OM=BMC.∠A=12∠ACDD.∠A=12∠BOD5.[2022·自贡]如图K25-5,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,连接OB,OC,则边BC的长为( )图K25-5A.2RB.32RC.22RD.3R6.[2022·锦州]如图K25-6,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AD与BC的延长线交于点E,BA与CD的延长线交于点F.若∠DCE=80°,∠F=25°,则∠E的度数为( )图K25-6A.55°B.50°C.45°D.40°7.线段AB=10cm,在以AB为直径的圆上,到点A的距离为5cm的点有 个. 10\n8.[2022·黑龙江]如图K25-7,AC为☉O的直径,点B在圆上,OD⊥AC,交☉O于点D,连接BD.若∠BDO=15°,则∠ACB= . 图K25-79.如图K25-8,P是等边三角形ABC外接圆的弧BC上的一点,BP=6,PC=2,则AP的长为 . 图K25-810.如图K25-9,量角器的0度刻度线在AB所在的直线上.将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D,量得AD=10cm,点D在量角器上的读数为60°,则该直尺的宽度为 cm. 图K25-911.如图K25-10,CD为☉O的直径,弦AB交CD于点E,连接AC,BD,OB.(1)求证:△AEC∽△DEB;(2)若CD⊥AB,AB=8,DE=2,求☉O的半径.图K25-1010\n12.如图K25-11,已知AB是☉O的直径,点C在半径OA上(点C与点O,A不重合),过点C作AB的垂线,交☉O于点D.连接OD,过点B作OD的平行线,交☉O于点E,交CD的延长线于点F.(1)若点E是BD的中点,求∠F的度数;(2)求证:BE=2OC.图K25-11能力提升10\n13.[2022·遵义]如图K25-12,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC,BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为( )图K25-12A.5B.4C.35D.2514.如图K25-13,在5×4的正方形网格中,弧AB经过格点C,D是AB上的一点,则∠ADB= . 图K25-1315.[2022·石家庄二模]如图K25-14,BC=6,点A为平面上一动点,且∠BAC=60°,点O为△ABC的外心,分别以AB,AC为腰向外作等腰直角三角形△ABD与△ACE,连接BE,CD交于点P,则OP的最小值是 . 图K25-14拓展练习16.已知:如图K25-15,O1为x轴上一点,以O1为圆心作☉O1交x轴于C,D两点,交y轴于M,N两点,∠CMD的补角的平分线交☉Ο1于点E,AB是弦,且AB∥CD,直线DM的解析式为y=3x+3.(1)如图①,求☉Ο1的半径及点E的坐标.(2)如图②,过点E作EF⊥BC于点F,若A,B为CND上两动点(AB∥CD)时,试问:BF+CF与AC之间是否存在某种等量关系?请写出你的结论,并证明.10\n图K25-15参考答案1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.C 7.28.60° [解析]如图,连接DC.∵AC为☉O的直径,OD⊥AC,∴∠DOC=90°,∠ABC=90°.∵OD=OC,∴∠ODC=45°.∵∠BDO=15°,∴∠BDC=30°.∴∠A=30°,∴∠ACB=60°.9.8 [解析]如图,在AP上取一点D,使PD=PC.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AC=BC,∵∠APC=∠ABC=60°,∴△PDC是等边三角形.∴∠PCD=60°,PC=DC=PD=2.∴∠ACD+∠DCB=∠BCP+∠DCB.∴∠ACD=∠BCP.∴△ADC≌△BPC.∴AD=PB=6.∴AP=AD+PD=6+2=8.10\n10.533 [解析]如图,根据题意,得AD=10,∠AOD=120°.∵OA=OD,∴∠DAO=30°.设OE=x,则OA=2x.∵OE⊥AD,∴AE=DE=5.在Rt△AOE中,x2+52=(2x)2,解得x=533(负值舍去).∴CE=OE=533.11.解:(1)证明:∵∠A=∠D,∠C=∠ABD,∴△AEC∽△DEB.(2)∵CD⊥AB,O为圆心,∴BE=12AB=4.设☉O的半径为r.∵DE=2,∴OE=r-2.在Rt△OEB中,由勾股定理,得OE2+EB2=OB2,即(r-2)2+42=r2,解得r=5,即☉O的半径为5.12.解:(1)如图,连接OE.∵点E是BD的中点,∴ED=BE.∴∠BOE=∠EOD.∵OD∥BF,∴∠DOE=∠BEO.∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB.∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°.10\n∵CF⊥AB,∴∠FCB=90°.∴∠F=30°.(2)证明:如图,过点O作OM⊥BE于点M.∴∠OMB=∠DCO=90°,BE=2BM.∵OD∥BF,∴∠COD=∠B.∵OB=OD,∴△OBM≌△DOC.∴BM=OC.∴BE=2OC.13.D [解析]如图,连接BE.因为∠DAE=∠DBE,∠DAE=∠ACB,所以∠DBE=∠ACB.因为BD是圆的直径,所以∠BED=90°,∠DAB=90°.因为AD∥BC,所以∠ABC=180°-∠DAB=90°.所以∠BED=∠ABC.所以△BED∽△CBA.所以DEAB=EBBC,即35=EB10.所以得到BE=6.在Rt△BED中,可得BD=35.在Rt△ADB中,可得AD=25.故选D.14.135° [解析]如图,连接BC并延长到图中的格点E,连接AE,AC,易证△ACE是等腰直角三角形,得到∠ACB=135°,所以∠ADB=135°.15.3-3 [解析]∵△ABD与△ACE是等腰直角三角形,∴∠BAD=∠CAE=90°.∴∠DAC=∠BAE.在△DAC和△BAE中,AD=AB,∠DAC=∠BAE,AC=AE,∴△DAC≌△BAE.∴∠ADC=∠ABE.∴∠PDB+∠PBD=90°.∴∠DPB=∠BPC=90°.∴点P在以BC为直径的圆上.∵△ABC的外心为O,∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,如图.当PO⊥BC时,OP的值最小,∵BC=6,∴BH=CH=3.∴OH=3,PH=3.∴OP=3-3.10\n16.解:(1)如图①,∵直线DM的解析式为y=3x+3,∴D(-1,0),M(0,3).∵△DMO∽△DCM,∴DODM=DMDC,即DM2=DO·DC,又DM=12+32=10,DO=1,∴CD=10,半径为12CD=5.连接EO1,易知∠EO1C=2∠EMC=90°,点E的坐标为(4,5).(2)BF+CF=AC.证明:如图②,连接EC,EO1,过点E作EG⊥AC于点G,连接MA,EA,EB.又∵∠EO1C=90°,AB∥CD,∴优弧BEC=优弧AED.∴∠ECG=∠EAB=∠ECF.又∵EC=EC,∠EGC=∠EFC,∴△ECF≌△ECG.∴CF=CG,EG=EF.又∵∠EAC=∠EBC,∴△EAG≌△EBF.∴BF=AG.∴BF+CF=AG+CG=AC.10\n10
