二次函数本章中考演练 一、选择题1．2022·山西用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )A．y＝(x－4)2＋7B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7D．y＝(x＋4)2－252．2022·成都关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( )A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为－33．2022·广西将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的表达式为( )A．y＝(x－8)2＋5B．y＝(x－4)2＋5C．y＝(x－8)2＋3D．y＝(x－4)2＋34．2022·青岛已知一次函数y＝x＋c的图象如图2－Y－1，则二次函数y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是( )图2－Y－18\n图2－Y－25．2022·随州如图2－Y－3所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1.直线y＝－x＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a＋b＋c＞0；②a－b＋c＜0；③x(ax＋b)≤a＋b；④a＜－1.其中正确的有( )图2－Y－3A．4个B．3个C．2个D．1个6．2022·北京跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图2－Y－4记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )图2－Y－4A．10mB．15mC．20mD．22.5m二、填空题7．2022·哈尔滨抛物线y＝2(x＋2)2＋4的顶点坐标为________．8．2022·自贡若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．9．2022·湖州如图2－Y－5，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．8\n图2－Y－510．2022·新疆如图2－Y－6，已知抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x.我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中的较小值为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2.①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M＝2，则x＝1.上述结论正确的是________．(填写所有正确结论的序号) 图2－Y－6三、解答题11．2022·杭州设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．(1)判断该二次函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；(2)若该二次函数的图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，求证：a>0.12．2022·威海为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系如图2－Y－7所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式；(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？图2－Y－78\n13．2022·河南如图2－Y－8，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C.(1)求抛物线的表达式．(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．图2－Y－88\n详解详析1．[解析]B y＝x2－8x－9＝x2－8x＋16－25＝(x－4)2－25.故选B.2．[解析]D ∵当x＝0时，y＝－1，故选项A错误；∵y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3，∴该函数图象的对称轴是直线x＝－1，在y轴的左侧，故选项B错误；当x＜－1时，y随x的增大而减小，故选项C错误；当x＝－1时，y取得最小值，此时y＝－3，故选项D正确．故选D.3．[解析]D y＝x2－6x＋21＝(x2－12x)＋21＝[(x－6)2－36]＋21＝(x－6)2＋3，故抛物线y＝(x－6)2＋3向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的表达式为y＝(x－4)2＋3.故选D.4．[解析]A 观察函数图象可知：＜0，c＞0，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴x＝－＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上．故选A.5．[解析]A ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，∴b＝－2a，∴2a＋b＋c＝2a－2a＋c＝c＞0，∴①正确．∵抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(－1，0)右侧，∴当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴②正确．∵x＝1时，二次函数有最大值，∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，∴ax2＋bx≤a＋b，∴③正确．∵直线y＝－x＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3，∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a＋3b＋c＜－3＋c，而b＝－2a，∴9a－6a＜－3，解得a＜－1，∴④正确．故选A.6．[解析]B 根据题意知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(0，54.0)，(40，46.2)，(20，57.9)，则解得则－＝－＝15.故选B.7．[答案](－2，4)[解析]∵y＝2(x＋2)2＋4，∴该抛物线的顶点坐标是(－2，4)．8．[答案]－1[解析]∵函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，∴Δ＝b2－4ac＝22－4×1×(－m)＝0，解得m＝－1.8\n9．[答案]－2[解析]∵四边形ABOC是正方形，∴点B的坐标为(－，－)．∵抛物线y＝ax2过点B，∴－＝a(－)2，解得b1＝0(舍去)，b2＝－2.10．[答案]②③[解析]①当x＞2时，抛物线y1＝－x2＋4x在直线y2＝2x的下方，∴当x＞2时，M＝y1，结论①错误；②当x＜0时，抛物线y1＝－x2＋4x在直线y2＝2x的下方，∴当x＜0时，M＝y1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④当M＝y1＝2时，有－x2＋4x＝2，解得x1＝2－(舍去)，x2＝2＋；当M＝y2＝2时，有2x＝2，解得x＝1.∴若M＝2，则x＝1或x＝2＋，结论④错误．综上所述，正确的结论有②③.故答案为②③.11．[解析](1)比较根的判别式与0的大小关系；(2)根据函数关系式特点可判断出抛物线一定过(1，0)且不经过(1，1)，故代入另两点求出a，b的值；(3)将P点坐标代入，结合a＋b<0，运用等式或不等式的性质整体转换．解：(1)二次函数图象与x轴的交点个数为两个或一个．理由如下：由题意得Δ＝b2－4·a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，∴二次函数图象与x轴的交点个数为两个或一个．(2)当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0，∴抛物线不经过点C.把点(－1，4)，B(0，－1)代入，得解得∴该二次函数的表达式为y＝3x2－2x－1.(3)证明：∵P(2，m)在二次函数图象上，∴m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＝a＋b＋2a.又∵a＋b<0，m>0，∴2a>0，即a>0.12．[解析](1)y与x之间是分段函数关系，根据待定系数法分别求直线AB和BC的表达式，根据利润＝(售价－成本)×销售量－费用，得结论；(2)分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解．解：(1)设直线AB的表达式为y＝kx＋b，代入A(4，4)，B(6，2)，得解得∴直线AB的表达式为y＝－x＋8.同理代入B(6，2)，C(8，1)可得直线BC的表达式为y＝－x＋5.∵工资及其他费用为0.4×5＋1＝3(万元)，8\n∴当4≤x≤6时，w＝(x－4)(－x＋8)－3＝－x2＋12x－35；当6＜x≤8时，w＝(x－4)(－x＋5)－3＝－x2＋7x－23.(2)当4≤x≤6时，w＝－x2＋12x－35＝－(x－6)2＋1，∴当x＝6时，w取最大值是1；当6＜x≤8时，w＝－x2＋7x－23＝－(x－7)2＋，∴当x＝7时，w取最大值是1.5.＝＝6，故小王自网店开业起，最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．13．解：(1)当x＝0时，y＝x－5＝－5，则C(0，－5)；当y＝0时，x－5＝0，解得x＝5，则B(5，0)．把B(5，0)，C(0，－5)代入y＝ax2＋6x＋c，得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋6x－5.(2)①解方程－x2＋6x－5＝0，得x1＝1，x2＝5，则A(1，0)．∵B(5，0)，C(0，－5)，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×4＝2.∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，∴PQ＝AM＝2，PQ⊥BC.作PD⊥x轴交直线BC于点D，如图①，则∠PDQ＝45°，∴PD＝PQ＝×2＝4.设P(m，－m2＋6m－5)，则D(m，m－5)．当点P在直线BC上方时，PD＝－m2＋6m－5－(m－5)＝－m2＋5m＝4，解得m1＝1(舍去)，m2＝4；当点P在直线BC下方时，PD＝m－5－(－m2＋6m－5)＝m2－5m＝4，解得m1＝，m2＝.8\n综上所述，点P的横坐标为4或或.②作AN⊥BC于点N，NH⊥x轴于点H，作AC的垂直平分线交BC于点M1，交AC于点E，如图②，∵M1A＝M1C，∴∠ACM1＝∠CAM1，∴∠AM1B＝2∠ACB.∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH＝BH＝NH＝2，∴N(3，－2)．易得直线AC的表达式为y＝5x－5，点E的坐标为(，－)．设直线EM1的表达式为y＝－x＋b，把E(，－)代入，得－＋b＝－，解得b＝－，∴直线EM1的表达式为y＝－x－.解方程组得则M1(，－)．在直线BC上作点M1关于点N的对称点M2，如图②，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB.设M2(x，x－5)，∵3＝，∴x＝，∴M2(，－)．综上所述，点M的坐标为(，－)或(，－)．8
