圆本章中考演练一、选择题1.2022·广州如图27-Y-1,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,交⊙O于点C,连结OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是( )图27-Y-1A.40°B.50°C.70°D.80°2.2022·淄博如图27-Y-2,⊙O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为( )图27-Y-2A.2πB.C.D.3.2022·天水如图27-Y-3所示,点A,B,C在⊙O上.若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为( )图27-Y-3A.π-4B.π-1C.π-2D.π-211\n4.2022·遂宁已知圆锥的母线长为6,将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°,则扇形的面积是( )A.4πB.8πC.12πD.16π5.2022·重庆B卷如图27-Y-4,△ABC中,∠A=30°,点O是边AB上一点,以点O为圆心,以OB长为半径作圆,⊙O恰好与AC相切于点D,连结BD.若BD平分∠ABC,AD=2,则线段CD的长是( )图27-Y-4A.2B.C.D.6.2022·遵义如图27-Y-5,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连结AC,BD,以BD为直径的圆交AC于点E,若DE=3,则AD的长为( )图27-Y-5A.5B.4C.3D.27.2022·武汉如图27-Y-6,在⊙O中,点C在优弧上,将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为,AB=4,则BC的长是( )图27-Y-6A.2B.3C.D.8.2022·无锡如图27-Y-7,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A,D,G三点的⊙O与边AB,CD分别交于点E,F.给出下列说法:(1)AC与BD的交点是⊙O的圆心;(2)AF与DE的交点是⊙O的圆心;(3)BC与⊙O相切.其中正确说法的个数是( )图27-Y-7A.0B.1C.2D.311\n二、填空题9.2022·无锡如图27-Y-8,点A,B,C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧上,且OA=AB,则∠ABC=________.图27-Y-811\n10.2022·重庆B卷如图27-Y-9,在边长为4的正方形ABCD中,以B为圆心,以AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是________(结果保留π).图27-Y-911.2022·临沂如图27-Y-10,在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是________cm.图27-Y-1012.2022·宜宾刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设⊙O的半径为1,若用⊙O的外切正六边形的面积来近似估计⊙O的面积S,则S=________.(结果保留根号)13.2022·绍兴如图27-Y-11,公园内有一个半径为20米的圆形草坪,A,B是圆上的点,O为圆心,∠AOB=120°,从A到B只有路,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路AB.通过计算可知,这些市民其实仅仅少走了________步(假设1步为0.5米,结果保留整数).(参考数据:≈1.732,π取3.142)图27-Y-1114.2022·安徽如图27-Y-12,菱形ABOC的边AB,AC分别与⊙O相切于点D,E,若D是AB的中点,则∠DOE=________°.图27-Y-1211\n三、解答题15.2022·黄冈如图27-Y-13,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过点B的切线交OP于点C.(1)求证:∠CBP=∠ADB;(2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.图27-Y-1316.2022·达州已知:如图27-Y-14,以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若等边三角形ABC的边长为8,求由,DF,EF围成的阴影部分的面积.图27-Y-1411\n17.2022·河南如图27-Y-15,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连结DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连结BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF.(2)连结AF并延长,交⊙O于点G,连结EG.填空:①当∠D的度数为________时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为________时,四边形ECOG为正方形.图27-Y-1511\n教师详解详析1.[解析]D ∠AOC=2∠ABC=2×20°=40°.因为OC⊥AB,所以=,从而有∠AOB=2∠AOC=2×40°=80°.故答案为D.2.[解析]D 连结OC,如图.∵∠BAC=50°,∴∠C=∠BAC=50°,∴∠AOC=80°,∴l==,故选D.3.[解析]C ∵∠BAC=45°,∴∠BOC=90°.则S扇形BOC==π,SRt△BOC=BO·CO=×2×2=2.则阴影部分的面积为S扇形BOC-SRt△BOC=π-2.4.[解析]C 根据题意可得扇形的面积为×π×62=12π,故选C.5.[解析]B 如图,连结OD,则由⊙O与AC相切于点D,得OD⊥AC.∵在Rt△AOD中,∠A=30°,AD=2,tanA=,∴OD=AD·tanA=2×tan30°=2×=2,∴AO=2OD=4,AB=OA+OB=6.∵∠AOD=90°-∠A=60°,∴∠ABD=∠AOD=30°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABD=60°,∴∠C=90°=∠ADO,∴OD∥BC,∴=,即=,∴DC=.6.[解析]D 如图,连结BE.11\n因为AD∥BC,所以∠DAE=∠ACB.又因为∠DAE=∠DBE,所以∠DBE=∠ACB.因为BD是直径,所以∠BED=90°,∠DAB=90°.因为AD∥BC,所以∠ABC=180°-∠DAB=90°,所以∠BED=∠ABC,所以△BED∽△CBA,所以=,可得EB=6.Rt△BED中,由勾股定理可得BD=3.在Rt△ADB中,由勾股定理可得AD=2,故选D.7.[解析]B 如图,连结AC,OC,OA,DC,OD,过点C作CE⊥AB于点E,过点O作OF⊥CE于点F.设H为上一点.∵沿BC折叠,∴∠CDB=∠H.∵∠H+∠A=180°,∠CDA+∠CDB=180°,∴∠A=∠CDA,∴CA=CD.∵CE⊥AD,∴AE=ED=1.∵OA=,AD=2,∴OD=1.∵OD⊥AB,易得四边形OFED为矩形,∴OF=1.又∵OC=,∴CF=2,∴CE=3.在Rt△CEB中易得BC=3.8.[解析]C ∵矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴AF与DE都是⊙O的直径,AC与BD不是⊙O的直径,∴AF与DE的交点是⊙O的圆心,AC与BD的交点不是⊙O的圆心,∴(1)错误,(2)正确.连结AF,OG,则O为AF的中点.∵G是BC的中点.∴OG是梯形FABC的中位线,∴OG∥AB.∵AB⊥BC,∴OG⊥BC,∴BC与⊙O相切,∴(3)正确.综上所述,正确结论有两个.9.[答案]15°[解析]∵OC⊥OB,OB=OC,∴∠CBO=45°.∵OB=OA=AB,∴△AOB为等边三角形,∠ABO=60°,∴∠ABC=∠ABO-∠CBO=60°-45°=15°.10.[答案]8-2π[解析]∵正方形ABCD的边长为4,∴∠BAD=90°,∠ABD=45°,AB=AD=4,∴S阴影=SRt△ABD-S扇形BAE=×4×4-=8-2π.11.[答案][解析]能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片是如图所示的△ABC外接圆⊙O,连结OB,OC,则∠BOC=2∠BAC=120°,过点O作OD⊥BC于点D,∴∠BOD=∠BOC=60°.由垂径定理得BD=BC=cm,∴OB===(cm),∴能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是cm.11\n12.[答案]2[解析]依照题意画出图形,如图所示.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形.∵⊙O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=,∴AB=,∴S=6S△ABO=6×××1=2.故答案为2.13.[答案]15[解析]过点O作OC⊥AB于点C,如图,则AC=BC.∵OA=OB,∴∠A=∠B=(180°-∠AOB)=(180°-120°)=30°.在Rt△AOC中,OC=OA=10,AC=OC=10,∴AB=2AC=20≈69(步).而的长=≈84(步),的长比AB的长多15步.即这些市民其实仅仅少走了15步.故答案为15.14.[答案]60[解析]连结OA,如图.∵四边形ABOC是菱形,∴AB=BO.∵AB与⊙O相切于点D,∴OD⊥AB.又∵D是AB的中点,∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∠AOB=60°,∴∠AOD=∠AOB=30°.同理∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°.故答案为60.11\n15.[解析](1)连结OB,则OB⊥BC.因为AD是直径,所以∠ABD=90°,易知∠OAB=∠OBA=∠DBC.因为OB=OD,所以∠ADB=∠OBD.因为∠CBP,∠OBD都与∠DBC互余,所以∠CBP=∠ADB;(2)易得△ABD∽△AOP,则=,由AB,AO的长度可求出BP的长度.解:(1)证明:连结OB,则OB⊥BC,∠OBC=90°,所以∠OBD+∠DBC=90°.因为AD是⊙O的直径,所以∠ABD=90°,所以∠DBP=90°,即∠DBC+∠CBP=90°,所以∠OBD=∠CBP.因为OB=OD,所以∠OBD=∠ADB,所以∠CBP=∠ADB.(2)在△ABD和△AOP中,∠DAB=∠PAO,∠POA=∠DBA=90°,故△ABD∽△AOP,则=.因为AB=1,AO=2,AD=2AO=4,所以AP=8,所以BP=7.16.[解析](1)先根据等腰三角形的三线合一性质证D是AB的中点,然后根据三角形中位线定理得OD∥AC,又因为DF⊥AC,所以OD⊥DF,所以DF是⊙O的切线;(2)根据阴影部分的面积=△DEF的面积-所对应的弓形面积列式计算可得.解:(1)证明:如图,连结OD,CD.∵BC是直径,∴∠BDC=90°,∴CD⊥AB.∵△ABC为等边三角形,∴D是AB的中点.∵O是BC的中点,∴OD∥AC.∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线.(2)连结OE,DE.∵D是AB的中点,E是AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,易知△ADE是等边三角形.∵等边三角形ABC的边长为8,∴等边三角形ADE的边长为4.11\n∵DF⊥AC,∴EF=2,DF=2,∴△DEF的面积=EF·DF=×2×2=2,∴△ADE的面积=△ODE的面积=4.扇形ODE的面积==,∴阴影部分的面积=S△DEF+S△ODE-S扇形ODE=2+4-=6-.17.解:(1)证明:连结OC,如图.∵CE为切线,∴OC⊥CE,∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°.∵DO⊥AB,∴∠3+∠B=90°.而∠2=∠3,∴∠2+∠B=90°.∵OB=OC,∴∠4=∠B,∴∠1=∠2,∴CE=EF.(2)①当∠D=30°时,∠DAO=60°,而AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=30°,∴∠3=∠2=60°,而CE=EF,∴△CEF为等边三角形,∴CE=CF=EF.同理可得∠GFE=60°.利用对称性得FG=FC,∴FG=EF,∴△FEG为等边三角形,∴EG=FG,∴CF=FG=GE=CE,∴四边形ECFG为菱形.故答案为30°.②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,而OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=67.5°,∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°.∵∠AOD=90°,∴∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,∴∠COG=90°,易得△OEC≌△OEG,∴∠OGE=∠OCE=90°,∴四边形ECOG为矩形,又∵OC=OG,∴矩形ECOG为正方形.故答案为22.5°.11