2022-2022年浙江温州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图像与性质一、选择题1.（2022年浙江温州4分）已知抛物线的解析式为y＝(x－2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是【】A、(－2,1)B、(2，1)C、(2，－1)D、(1，2)【答案】B。【考点】二次函数的性质。【分析】直接根据顶点式y＝(x－2)2＋1写出抛物线的顶点坐标(2，1)。故选B。2.（2022年浙江温州4分）反比例函数的图象经过点(－1,2)，k的值是【】A.B.C.-2D.2【答案】C。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将(－1，2)代入，得，解得k=-2。故选C。3.（2022年浙江温州4分）已知点P（－1，a）在反比例函数的图象上，则a的值为【】A. －1 B. 1 C. －2 D. 2【答案】C。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－1，a）代入，得。故选C。4.（2022年浙江温州4分）抛物线与y轴的交点坐标是【】A.（4，0） B.（－4，0） C.（0，－4） D.（0，4）【答案】D。【考点】抛物线与y轴的交点问题。【分析】令x=0，得，∴抛物线与y轴的交点坐标是（0，4）。故选D。5.（2022年浙江温州4分）抛物线y＝(x－1)2＋3的对称轴是【 】（A）直线x＝1（B）直线x＝3（C）直线x＝－1（D）直线x＝－3【答案】A。19\n【考点】二次函数的性质。【分析】直接根据项点式得到对称轴是直线x＝1。故选A。6.（2022年浙江温州4分）已知反比例函数的图象经过点（3，－2），则k的值是【 】（A）－6（B）6（C）（D）【答案】A。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（3，－2）代入，得。∴k=－6。故选A。7.（2022年浙江温州4分）抛物线y=x2一3x+2与y轴交点的坐标是【】A．(0，2)B．(1，0)C．(0，一3)D．(0，0)【答案】A。【考点】抛物线与y轴交点问题。【分析】令x=0得y=2，∴抛物线y=x2一3x+2与y轴交点的坐标是(0，2)。故选A。8.（2022年浙江温州4分）直线y=x+3与y轴的交点坐标是【】A．(0，3)B．(0，1)C．(3，0)D．(1，0)【答案】A。【考点】直线与y轴交点问题。【分析】令x=0得y=3，∴直线y=x+3与y轴交点的坐标是(0，3)。故选A。9.（2022年浙江温州4分）已知点P（－1，4）在反比例函数的图象上，则的值是【】A、－B、C、4D、－4【答案】D。【考点】曲线上的点与坐标的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，把点P的坐标代入，即可求出。故选D。10.（2022年浙江温州4分）已知二次函数的图象（0≤≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是【】19\nA、有最小值0，有最大值3B、有最小值﹣1，有最大值0C、有最小值﹣1，有最大值3D、有最小值﹣1，无最大值【答案】C。【考点】二次函数的最值。【分析】由函数图象自变量取值范围得出对应的值，即可求得函数的最值：根据图象可知此函数有最小值﹣1，有最大值3。故选C。11.（2022年浙江温州4分）一次函数y=－2x+4图象与y轴的交点坐标是【】A.(0,4)B.(4,0)C.(2,0)D.(0,2)【答案】A。【考点】一次函数图象上点的坐标特征。【分析】在解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标：y=-2×0+4=4，则函数与y轴的交点坐标是（0，4）。故选A。二、填空题1.（2022年浙江温州3分）抛物线的对称轴是直线▲．【答案】x=－2。【考点】二次函数的性质。【分析】∵，∴抛物线的对称轴是直线x=－2。2.（2022年浙江温州3分）已知抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x=1的两侧，则k的取值范围是▲．【答案】k＜－3。【考点】抛线与x轴的物交点问题，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质。【分析】∵抛物线与x轴有两个交点，19\n∴当时，＞0，解得：k＞或k＜。∵两个交点分别在直线x=1的两侧，且，∴当x=1时，，解得k＜－3。∴k的取值范围是k＜－3。5.（2022年浙江温州5分）如图，已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，则二次函数的图象的顶点坐标是 ▲ ．【答案】（2，－1）。【考点】待煊系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】∵二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，∴可设二次函数的解析式为。∵函数的图象与y轴交于点C(0，3)，∴，即。19\n∴二次函数的解析式为。∴二次函数的图象的顶点坐标是（2，－1）。6.（2022年浙江温州5分）已知反比例函数的图象经过点(1，2)，则k的值是▲。【答案】2。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将(1，2)代入，得，解得k=2。9.（2022年浙江温州5分）若一个反比例函数的图象位于二、四象限，则它的解析式可能是▲．(写出一个即可)【答案】（答案不唯一）。【考点】开放型，反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限。因此，∵反比例函数的图象位于二、四象限，∴反比例函数的系数。∴只要写一个的反比例函数即，如（答案不唯一）。19\n10.（201年2浙江温州5分）如图，已知动点A在函数(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于▲_.【答案】。【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F。∵A在函数(x>o)的图象上，∴设A（t，），则AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t。在Rt△ADE中，由勾股定理，得。∵△EFQ∽△DAE，∴QE：DE=EF：AD。∴QE=。∵△ADE∽△GPD，∴DE：PD=AE：DG。∴DP=。又∵QE：DP=4：9，∴。解得。∴图中阴影部分的面积=。19\n三、解答题1.（2022年浙江温州9分）已知：抛物线（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）令，∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴。∴k=1。（2）存在。∵，∴分两种情况：①若，则A（k，0），B（1，0），C（0，k），∴，OA=，OB=1，OC=。若△AOC∽△COB，则，即，∴k=－1。②若，则由C（0，k）的，矛盾。综上所述，当k=－1时，△AOC∽△COB。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定，分类思想的应用。【分析】（1）抛物线与x轴只有一个交点，也就是说当y=0时，得出的关于x的二元一次方程只有一个解，即△=0，可据此求出k的值。（2）因为，所以分和两种情况进行讨论。2.（2022年浙江温州12分）二次函数y=ax2+bx+c（其中a＞0)它的图象与x轴交于A（m,0),B（n,0)两点，其中m＜n，与y轴交于点C(0，t)(1）若它的图象的顶点为P，点P的坐标为(2,－1)，点C在x轴上方，且点C到x轴的距离为3，求A，B,C三点的坐标;(要求写出过程）（2）若m，n,t都是整数，且19\n0＜m＜6，0＜n＜6，0＜t≤6，△ABC的面积为6，试写出一个满足条件的二次函数的解析式 （只要求写出结果，不要求写出过程），并在直角坐标系中（下图），画出你所填二次函数的图象，且标出相应A，B，C三点的位置．【答案】解：（1）∵顶点为P的坐标为（2，－1）∴可设抛物线的解析式为。又∵点C在x轴上方，且点C到x轴的距离为3，∴C（0，3）。将（0，3）代入，得a=1。∴抛物线的解析式为。∴A（1，0），B（3，0），点C（0，3）。（2）。作图如下：19\n【考点】抛物线与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据题意可得出t=3，再将顶点为P的坐标为（2，-1）和点C的坐标代二次函数y=ax2+bx+c，即可得出答案。（2）根据面积得出ABC的坐标，再画出图形即可。答案不唯一。 取A（1，0），B（3，0），C（0，6），则0＜m＜6，0＜n＜6，0＜t≤6，△ABC的面积为6。 设抛物线的解析式为，将代入得， ∴所求抛物线的解析式可以为。3.（2022年浙江温州12分）19\n欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把），欣欣商店根据销售记录，这种雨伞以零售单价每把为14元出售时，月销售量为100把，如果零售单价每降价0．1元，月销售量就要增加5把．现在该公司的批发部为了扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部份每把按原批发单价九五折(即95%）付费，但零售单价每把不能低于10元．欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润＝销售款额－进货款额）【答案】解：设降价x元时利润最大，利润为y元，根据题意得：（其中0≤x≤4），化简，得 。∵且，0＜2.2＜4，∴当x=2.2时，y有最大值，最大值为842。∴14－x=14-－2.2=11.8。答：欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把11.8元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大，最大月销售利润是842元。【考点】二次函数的应用，二次函数的的最值。【分析】先设出降价x元时利润最大，利润为y元，再找出等量关系列出式子，解出x与y的值即可求出结果。4.（2022年浙江温州12分）为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD，AB=10m，BC=20m)上进行绿化．中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个Rt△)上铺设草坪，并要求AE=AH=CF=CG．那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH(中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积；若不存在，请说明理由．【答案】解：存在。设AE=AH=CG=CF=xm，则BE=DG=（10－x）m，BF=DH=（20－x）m。∴四边形EFGH的面积，即（0＜x＜10）。∵，且＜0，0＜7.5＜10，∴当x=7.5时，S有最大值112.5。19\n答：当AE的长为7.5m时，种花的这一块面积最大，最大面积是112.5m2。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，矩形的性质。【分析】求出四边形EFGH面积关于AE=x的二次函数关系式，用二次函数的最值原理即可求解。5.（2022年浙江温州12分）水是生命之源，水资源的不足严重制约我市的工业发展，解决缺水的根本在于节约用水，提高工业用水的重复利用率、降低每万元工业产值的用水量都是有力举措。据《台州日报》4月26日报导，目前，我市工业用水每天只能供应10万吨，重复利用率为45℅，先进地区为75℅，工业每万元产值平均用水25吨，而先进地区为10吨，可见我市节水空间还很大。（1）若我市工业用水重复利用率(为方便,假设工业用水只重复利用一次)由目前的45℅增加到60℅，那么每天还可以增加多少吨工业用水？（2）写出工业用水重复利用率由45℅增加到x℅（45＜x＜100），每天所增加的工业用水y(万吨)与之间的函数关系式。（3）如果我市工业用水重复利用率及每万元工业产值平均用水量都达到先进地区水平，那么与现有水平比较，仅从用水的角度我市每天能增加多少万元工业产值？【答案】解：（1）100000×(1+60％)－100000×(1+45％)=100000×15％=15000(吨)，答：每天还可以增加15000吨工业用水。（2）每天所增加的工业用水y(万吨)与之间的函数关系式为：y=10(x％－45％)=0.1x－4.5（45＜x＜100）。（3）(万元)，答：每天能增加11700万元工业产值。【考点】一次函数的应用。【分析】重复利用率是在一定的计量时间内，生产过程中使用的重复利用量与总用水量之比．那么使用的总水量=生产过程中的取水量×（1+重复利用率），由此等量关系即可答本题。6.（2022年浙江温州8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为6，O为坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点，直线EC交y轴于F，且S△FAE∶S四边形AOCE＝1∶3。⑴求出点E的坐标；⑵求直线EC的函数解析式.19\n7.（2022年浙江温州12分）为调动销售人员的积极性，A、B两公司采取如下工资支付方式：A公司每月2000元基本工资，另加销售额的2%作为奖金；B公司每月1600元基本工资，另加销售额的4%作为奖金。已知A、B公司两位销售员小李、小张1～6月份的销售额如下表：月份销售额销售额（单位：元）1月2月3月4月5月6月小李（A公司）116001280014000152001640017600小张（B公司740092001100128001460016400（1）请问小李与小张3月份的工资各是多少？（2）小李1～6月份的销售额与月份的函数关系式是小张1～6月份的销售额也是月份的一次函数，请求出与的函数关系式；19\n（1）如果7～12月份两人的销售额也分别满足（2）中两个一次函数的关系，问几月份起小张的工资高于小李的工资。【答案】解：（1）小李3月份工资=2000+2%×14000=2280（元），小张3月份工资=1600+4%×1100=1644（元）。（2）设y2=kx＋b，取表中的两对数（1，7400），（2，9200）代入解析式，得 ，解得。∴出与x的函数关系式为：y2=1800x＋5600。（3）小李的工资w1=2000+2%（1200x+10400）=24x+2208，小张的工资w2=1600+4%（1800x+5600）=72x+1824，当w2＞w1时，即72x+1824＞24x+2208，解得x＞8。答：从9月份起，小张的工资高于小李的工资。【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。【分析】（1）由工资=基本工资+奖金，可得到两人的工资。（2）利用待定系数法可求出y2与x的关系式。（3）求出两人的工资表达式，然后得到不等式，解不等式可求出月份。8.（2022年浙江温州10分）一次函数y＝x－3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B．（1）求点A，B的坐标，并画出一次函数y＝x－3的图象；（2）求二次函数的解析式及它的最小值．【答案】解：（1）令y＝0，得x＝3，∴点A的坐标是（3，0）。令x＝0，得y＝－3，∴点B的坐标是（0，－3）。一次函数y＝x－3的图象如图：（2）∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B，19\n∴，解得，。∴二次函数y＝x2＋bx＋c的解析式是。∵，∴函数的最小值为－4。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，即可求出点A，B的坐标；描出点A，B的坐标连接即可。（2）应用待定系数法即可求出二次函数y＝x2＋bx＋c的解析式，化为项点式即可求出函数的最小值。9.（2022年浙江温州11分）)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点C(1，6)、点D(3，ｎ)．过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥ｘ轴于F．(1)求m，n的值；(2)求直线AB的函数解析式；(3)求证：△AEC≌△DFB．【答案】解：（1）∵点C(1，6)在反比例函数在第一象限的图象上，∴。∴。 ∴反比例函数解析式为。 ∵点D(3，ｎ)在反比例函数在第一象限的图象上，∴。（2）设直线AB的函数解析式为，19\n ∵点C(1，6)、点D(3，2)在直线AB上， ∴，解得。 ∴直线AB的函数解析式为。（3）在中令ｘ＝0，得；令＝0，得ｘ＝4. ∴A（0，8），B（0，4）。∵CE⊥y轴，DF⊥ｘ轴，∴∠AEC=∠DFB=900。又∵AE=DF=2，CE=BF=1，∴△AEC≌△DFB（ASA）。【考点】双曲线与直线的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，全等三角形的判定。【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，先将C(1，6)代入求出ｍ；再将D(3，ｎ)代入求出的双曲线解析式求出ｎ。（2）由点C(1，6)、点D(3，2)在直线AB上，用待定系数法求出即可。（3）求出点A、B的坐标，根据ASA证明△AEC≌△DFB。10.（2022年浙江温州12分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排件产品运往A地。（1）当时，①根据信息填表：A地B地C地合计产品件数（件）200运费（元）30②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？（2）若总运费为5800元，求的最小值。【答案】解：（1）①根据信息填表19\nA地B地C地合计产品件数（件）200运费（元）30②由题意，得，解得40≤x≤。∵x为整数，∴x=40或41或42。∴有三种方案，分别是（i）A地40件，B地80件，C地80件；（ii）A地41件，B地77件，C地82件；（iii）A地42件，B地74件，C地84件。（2）由题意，得30x+8（n－3x）+50x=5800，整理，得n=725－7x．∵n－3x≥0，∴x≤72.5。又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数。∵n随x的增大而减少，∴当x=72时，n有最小值为221。【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。【分析】（1）①运往B地的产品件数=总件数n－运往A地的产品件数－运往B地的产品件数；运费=相应件数×一件产品的运费。②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可。（2）总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，从而根据函数的增减性得到的x的取值求得n的最小值即可。11.（2022年浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。（1）当时，求点A的坐标及BC的长；（2）当时，连结CA，问为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。19\n【答案】解：（1）当m=3时，y=－x2＋6x。令y=0得－x2＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A（6，0）。当x=1时，y=5。∴B（1，5）。∵抛物线y=－x2＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，∴BC=4。（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。∴。∵抛物线y=－x2＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，C关于对称轴对称，∴BC=2（m－1）。∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。∴AH=1，CH=2m－1，∴，解得m=。（3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。（I）当m＞1时，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1，19\n（i）若点E在x轴上（如图1），∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。此时点E的坐标是（2，0）。（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。此时点E的坐标是（0，4）。（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，（i）若点E在x轴上（如图3），易证△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=。此时点E的坐标是（，0）。（ii）若点E在y轴上（如图4），19\n过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），当m=时，点E的坐标是（，0）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。（3）存在。本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m－1和当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。19
