【中考12年】浙江省衢州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题06函数的图像与性质一、选择题1.（2022年浙江金华、衢州5分）抛物线的顶点坐标是【】A．（－2，3）B．（2，3）C．（－2，－3）D．（2，－3）【答案】B。【考点】二次函数的性质。【分析】直接根据顶点式得出顶点坐标是（2，3）。故选B。2.（2022年浙江金华、衢州5分）用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是【】A．m2B．m2C．m2D．4m23.（2022年浙江金华、衢州4分）抛物线y＝(x－5)2十4的对称轴是【】（A）直线x=4（B）直线x=－4（C）直线x=－5（D）直线x=5【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】根据二次函数的性质，抛物线y＝(x－5)2十4的对称轴是直线x=5。故选D。4.（2022年浙江金华、衢州4分）如图，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是【 】20\nA．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜15.（2022年浙江衢州4分）抛物线与x轴的交点的个数有【】A、0个B、1个C、2个D、3个6.（2022年浙江衢州4分）下列各点中在反比例函数的图像上的点是【】A.(—1，—2)B.（1，—2）C.（1，2）D.（2，1）7.（2022年浙江衢州3分）二次函数的图象上最低点的坐标是【】A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1，2)D．(1，2)【答案】B。【考点】二次函数的性质。【分析】根据二次函数的性质，二次函数的图象上最低点的坐标是(1，－2)。故选B。8.（2022年浙江衢州3分）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y=－x图象上的两点，则下列判断正确的20\n是【】A．y1>y2B．y1<y2C．当x1<x2时，y1>y2D．当x1<x2时，y1<y29.（2022年浙江衢州3分）已知二次函数y=﹣x2﹣7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是【】 A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1二、填空题1.（2022年浙江金华、衢州5分）函数的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为▲．20\n2.（2022年浙江衢州、丽水4分）若点（4，m）在反比例函数(x≠0)的图象上，则m的值是 ▲ ．3.（2022年浙江衢州4分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，sin∠AOB=，反比例函数的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为 ▲ ．【答案】（8，）。20\n4.（2022年浙江衢州4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式 ▲ ．5.（2022年浙江衢州4分）如图，已知函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是 ▲ ．【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）。【考点】反比例函数综合题，平行四边形的性质。【分析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标：如图，∵△AOE的面积为4，函数的图象过一、三象限，∴k=8。20\n∴反比例函数为∵函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，∴满足条件的P点有3个，分别为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）。三、解答题1.（2022年浙江金华、衢州10分）某瓜果基地市场部为指导某地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息．如图（1）（2）两图．注：两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低；图（1）的图象是线段，图（2）的图象是抛物线．（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益（收益=售价－成本）是多少元？（2）设x月份出售这种蔬菜，每千克收益为y元，求y关于x的函数解析式；（3）问哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．【答案】解：（1）∵在3月份，每千克售价为5元，在3月份，每千克成本为4元，∴在3月份出售这种蔬菜，每千克收益是1元。（2）设x月份出售时，每千克售价为y1元，每千克成本为y2元根据图（1）设，∴，解得。∴根据图（2）设，20\n∴，解得。∴。∵，∴。（3）∵，∴当x=5时，y有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大。2.（2022年浙江金华、衢州14分）如图，已知直线分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连结MD．（1）求证：△ADM∽△AOB；（2）如果⊙M的半径为2，请求出点M的坐标，并写出以为顶点．且过点M的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，试问在此抛物线上是否存在点P，使得以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙M切线，D是切点，∴MD⊥AB。∴∠MDA=∠AOB=90°。又∠MAD=∠BAO，∴△ADM∽△AOB。（2）∵直线与x轴交点为B（6，0）与y轴交点为A（0，12），∴OA=12，OB=6，。20\n∵△ADM∽△AOB，∴。∴。∴OM=2。∴点M的坐标为（0，2）。设顶点为的抛物线是，∵抛物线过点M（0，2），∴，解得：a=－2。∴所求抛物线的解析式，即。（3）在抛物线上存在点P使以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似，由抛物线的形状可判断，点P若存在，只能在y轴左侧的抛物线上，且只有六种可能：∵OA：OB=2，∴P1A=P3M=2AM=20，P2A=P4M=AM=5。∴P1（－20，12），P2（－5，12），P3（－20，2），P4（－5，2）。根据P2A=5，可得P5A=2，从而得出P5（－4，10）。下面求P6的坐标：显然MP6=MD=2，作P6H⊥AM，H为垂足。由P6M2=MH•MA，得，由P6H2=MH•AH，得。∴P6（－4，4）。经检验，只有P4、P5的坐标满足。∴在抛物线上存在点P（－5，2），或P（－4，10），使以P、A、M三点为顶点的三角形与△AOB相似。20\n3.（2022年浙江金华、衢州12分）某人采用药熏法进行室内消毒，已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物10分钟燃完，此时室内空气中每立方米的含药量为8毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y与x的函数关系式为 ▲ ，自变量x的取值范围是 ▲ ；药物燃烧后，y与x的函数关系式为 ▲ ．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，人方可进入室内，那么从消毒开始，至少需要经过 ▲ 分钟后，人才可以回到室内．（3）当空气中每立方米的含药量不低于5毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效，为什么？【答案】解：（1）；0≤x≤10；。（2）40．（3）∵药物燃烧时，y与x的函数关系式为，∴当y=5时，；∵药物燃烧后，y与x的函数关系式为，∴当y=5时，。∴空气中每立方米的含药量不低于5毫克的持续时间为：。∵＜10，∴此次消毒无效。20\n（3）把y=5分别代入两个函数解析式，从而求得时间差与10比较即可得出结论。4.（2022年浙江金华、衢州14分）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在原点左侧，B点在原点右侧），与y轴交于C点．若AB=4，OB＞OA，且OA、OB是方程的两根．（1）请求出A，B两点的坐标；（2）若点O到BC的距离为，求此二次函数的解析式；（3）若点P的横坐标为2，且△PAB的外心为M（1，1），试判断点P是否在（2）中所求的二次函数图象上．20\n∴过A、B、C三点的二次函数的解析式为或。（3）设P点坐标为（2，p），由外心的定义可知AM=PM，即，解得p=1或p=3。∴P（2，1）或（2，3）。把x=2分别代入二次函数的解析式和，解得y=±2。∴点P不在（2）中所求的二次函数图象上。5.（2022年浙江衢州9分）已知：在平面直角坐标系中，直线L经过点A（0，－1），且直线L与抛物线只有一个公共点，试求出这个公共点的坐标。【考点】直线与抛物线交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，分类思想的应用。【分析】本题中分两种情况进行讨论：20\n（1）直线L是个一次函数，可先设出y与x的函数关系式，然后根据其只与二次函数有一个交点得出函数关系式中系数的值，得出函数式，然后再求出交点。（2）直线L的解析式是x=0，此时直线L过A点，那么它与抛物线的交点就是（0，0）。6.（2022年浙江衢州14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．（1）求过A、C两点直线的解析式；（2）当点N在半圆M内时，求a的取值范围；（3）过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F，B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．（2）由抛物线过A，B两点，可设抛物线的解析式为，整理得，。∴顶点N的坐标为。由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，∵由A（1，0），B（4，0），C（4，2）得AD=2，半圆离AB的最短距离为，∴，解这个不等式，得。（3）设EF=x，则CF=x，BF=2－x，AF=2+x，AB=3，20\n在Rt△ABF中，由勾股定理，即，解得，BF=。①由△ABF∽△CMN得，，∴。当点N在CD的下方时，由，得N1。当点N在CD的上方时，由，得N2。②由△ABF∽△NMC得，，∴。当点N在CD的下方时，由，得N3。当点N在CD的上方时，由，得N4。综上所述，当以点A、F，B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，点N的坐标为或或或。（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），可求出B、D、M、E点的坐标，根据抛物线与坐标轴交与A、B两点故可设出抛物线的交点式，根据交点式可求出N点坐标，由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，即可求出a的取值范围。（3）根据切线的性质定理、矩形的边长及勾股定理可求出△各边的长，因为在△ABF与△CMN均为直角三角形，故应分两种情况讨论即△ABF∽△CMN，△ABF∽△NMC，同时在讨论时还要考虑到N在CD的下方与上方的情况。7.（2022年浙江衢州12分）某校课间操出操时楼梯口常出现拥挤现象，为详细了解情况，九（1）班数20\n学课题学习小组在楼梯口对前10分钟出入人数进行了观察记录，并根据得到的数据绘制成下面两幅图：（1）在2至5分钟时，每分钟出楼梯口的人数p（人）与时间t（分）的关系可以看作一次函数，请你求出它的表达式。（2）若把每分钟到达楼梯口的人数y（人）与时间t（分）（2≤t≤8）的关系近似的看作二次函数，问第几分钟时到达楼梯口的人数最多？最多人数是多少？（3）调查发现，当楼梯口每分钟增加的滞留人数达到24人时，就会出现安全隐患。请你根据以上有关部门信息分析是否存在安全隐患。若存在，求出存在隐患的时间段。若不存在，请说明理由。（每分钟增加的滞留人数=每分钟到达楼梯口的人数—每分钟出楼梯楼的人数）（4）根据你分析的结果，对学校提一个合理化建议（字数在40个以内）。（2）∵，∴当t=6时，y最大为85，即当第六分钟时，到达楼梯口的人数最多，为85人。（3）当2≤t≤5时，由得：，即，∴t=5。当5＜t≤8时，p=60，由得，即，根据不等式的性质，得或。20\n由解得；无解。此时，的解为。由图知，当t＜2和t＞8时，。综上所述，在第5分钟到第7分钟的时间段会出现安全隐患。（4）答案不唯一，如加强楼梯口的管理，安排值日。8.（2022年浙江衢州12分）如图，顶点为D的抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连结BC，已知tan∠ABC=1。（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P,使△CDP的周长最小，并求出点P的坐标；（3）若点E（x，y）是抛物线上不同于A,B,C的任意一点，设以A,B,C,E为顶点的四边形的面积为S,求S与x之间的函数关系式。20\n（2）作点C关于x轴的对称点C1，连接C1D与x轴交于点P，则点P即为所求。∵，∴D（1，－4）。∵C（0，－3），∴C1（0，3）。设C1D的解析式为，则，解得。∴C1D的解析式为。令y=0，解得。∴P（，0）。∴在x轴上的点P（，0），使△CDP的周长最小。（3）在中，令y=0，得x=－1或x=3。∴A（－1，0），AB=4。当时，点E在第一象限，如图1，此时。当时，点E在第四象限，如图2，此时。当时，点E在第三象限，如图3，此时。当时，点E在第二象限，如图4，此时。综上所述，S与x之间的函数关系式为：20\n。9.（2022年浙江衢州8分）水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售价x(元/千克)400250240200150125120销售量y(千克)304048608096100观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)20\n之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？【分析】（1）根据图中数据求出反比例函数，再分别将y=40和x=240代入求出相对应的x和y。（2）先求出8天销售的总量和剩下的数量m，将x=150代入反比例函数中得到一天的销售量y，即为所需要的天数。（3）求出销售15天后剩余的数量除2得到后两天每天的销售量y，将y的值代入反比例函数中即可求出x。10.（2022年浙江衢州、丽水10分）小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上20\n学的步行速度，走完100米用了150步．（1）小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？（2）下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：① 小刚到家的时间是下午几时？② 小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式．②小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时分，此时小刚离家1100米，所以点B的坐标是（20，1100），点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0）。设线段CD所在直线的函数解析式是，将点C，D的坐标代入，得，解得。∴线段CD所在直线的函数解析式是。20\n20
