[中考12年]杭州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题6：函数的图像与性质一、选择题1.（2022年浙江杭州3分）若所求的二次函数图像与抛物线有相同的顶点，井且在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为【】．A．B．C．D．【答案】D。【考点】二次函数的性质。2.（2022年浙江杭州3分）已知正比例函数的图象上两点A、B，当时，有，那么m的取值范围是【】．28\n（A）（B）（C）（D）【答案】A。【考点】正比例函数图象与系数的关系。3.（2022年浙江杭州3分）一次函数的图象不经过【】（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】B。【考点】一次函数图象与系数的关系。28\n4.（2022年浙江杭州3分）已知一次函数y=kx－k，若y随着x的增大而减小，则该函数的图象经过【】（A）第一、二、三象限（B）第一、二、四象限（C）第二、三、四象限（D）第一、三、四象限【答案】B。【考点】一次函数图象与系数的关系。5.（2022年浙江杭州3分）用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是【】（A）506（B）380（C）274（D）182【答案】C。【考点】二次函数的图象。【分析】设相邻的三个自变量的值为x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），∵x的值以相等间隔的值增加，∴设，则28\n。∴分别代入，得：∴函数y构成二阶递推数列。6.（2022年浙江杭州大纲卷3分）已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于【】x－101y1m－1A．－1B．0C．D．27.（2022年浙江杭州3分）如果函数和的图象交于点P，那么点P应该位于【】28\nA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C。8.（2022年浙江杭州3分）已知点P（x，y）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的【】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B。9.（2022年浙江杭州3分）定义为函数的特征数,下面给出特征数为[2m，1–m,–1–m]的函数的一些结论：①当m=–3时，函数图象的顶点坐标是；28\n②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小；④当m¹0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有【】A.①②③④B.①②④C.①③④D.②④【答案】B。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，曲线上点的坐标与方程的关系。∴。∴。∵当m>0时，，∴当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于。结论①正确。∵函数图象对称轴为，∴当m<0时，，即对称轴在x=右侧。28\n∴当m<0时，函数在时，y随x的增大而增大；函数在时，y随x的增大而减小。结论③错误。∵，∴当m¹0时，函数图象经过同一个点（1，0）。结论①正确。综上所述，结论①②④正确。故选B。10.（2022年浙江杭州3分）如图，函数和函数的图像相交于点M（2，），N（－1，），若，则的取值范围是【】A.或B.或C.或D.或11.（2022年浙江杭州3分）已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是【】 A．2 B．3 C．4 D．528\n【答案】B。【考点】抛物线与x轴的交点。二、填空题1.（2022年浙江杭州4分）已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的x的取值范围是▲．【答案】x＜－2或x＞8。【考点】二次函数和一次函数的图象，数形结合思想的应用28\n【分析】由图形可以看出：抛物线和一次函数的交点横坐标分别为-2，8，当y1＞y2时，的图象在的图象之上，此时x的取值范围正好在两交点之外，即x＜－2或x＞8。2.（2022年浙江杭州4分）对于反比例函数与二次函数，请说出它们的两个相同点①▲，②▲；再说出它们的两个不同点①▲，②▲_．3.（2022年浙江杭州4分）已知一次函数，当=3时，=1，则直线在轴上的截距为▲4.（2022年浙江杭州4分）抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为▲。【答案】1。【考点】二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】由抛物线，得顶点C（2，－6），把C（2，－6）代入中，得：－6=－2k+3，解得。∴这个一次函数解析式为。当x=0时，y=3，当y=0时，x=。∴一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为：。28\n三、解答题1.（2022年浙江杭州8分）函数y＝－3x＋2的图像上存在点P，使得点P到x轴距离等于3，求点P的坐标．2.（2022年浙江杭州12分）已知二次函数．（1）证明：不论a取何值，抛物线的顶点Q总在x轴的下方；（2）设抛物线与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；28\n（3）在第（2）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于的抛物线有几条？请证明你的结论．【答案】解：（1）证明：∵判别式△=＞0，∴抛物线与x轴总有两个不同的交点。又∵抛物线开口向上，∴抛物线的顶点在x轴下方。（2）由条件得：抛物线顶点Q，点C（0，a－2）。∵过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，∴a≠0。过点C存在平行于x轴的直线与抛物线交于另一个点D，此时CD=|－a|，点Q到CD的距离为。自Q作QP⊥CD，垂足为P，要使△QCD为等边三角形，则需QP=CD，即。∵a≠0，∴。∴△QCD可以是等边三角形。此时对应的二次函数解析式为或。28\n【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，等边三角形的性质，分类思想的应用。【分析】（1）要证明：不论a取何值，抛物线的顶点Q总在x轴的下方，只要证明抛物线与x轴，有两个不同的交点，即证明=0有两个不同的解．即根的判别式大于0即可。（2）Q是抛物线的顶点，C、D的横坐标相同，因而C、D一定关于对称轴对称，因而△CDQ一定是等腰三角形．如果三角形是等边三角形，则Q作QP⊥CD，垂足为P，则需QP=CD，CD、QP的长度都可以用a表示出来，因而就可以得到一个关于a的方程，就可以求出a的值。（3）由（2）知，CD=|－a|，CD边上的高=|a－2|，由△ACD的面积等于，即。解出的有几个使△ACD的面积等于的抛物线就有几条。3.（2022年浙江杭州10分）转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染，该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关。现经过试验得到下列数据：通过电流强度（单位A）11.71.92.12.4氧化铁回收率（%）7579888778如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率。28\n（1）将试验所得数据在下图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代表点（1，70））；（2）用线段将题（1）所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系，试写出该函数在1.7≤x≤2.4时的表达式；（3）利用题（2）所得函数关系，求氧化铁回收率大于85%时，该装置通过的电流应该控制的范围（精确到0.1A）。【答案】解：（1）（2）描点，连接如下图：。（3）当1.7≤x＜1.9时，由45x＋2.5＞85得1.8＜x＜1.9；当2.1≤x≤2.4时，由－30x＋150＞85得2.1≤x＜2.2；当1.9≤x＜2.1时，恒有－5x＋97.5＞85。综合上述可知：满足要求时，该装置的电流应控制在1.8A至2.2A之间。28\n4.（2022年浙江杭州12分）如图，在矩形ABCD中，BD＝20，AD＞AB，设∠ADB＝α，已知sinα是方程的一个实根，点E，F分别是BC，DC上的点，EC＋CF＝8，设BE＝x，ΔAEF的面积等于y。（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）当E，F两点在什么位置时，y有最小值？并求出这个最小值。【答案】解：（1）解方程可得或。∵AD＞AB，∴舍去，取，则有AD=16，AB=12。设BE=x，则有EC=16－x，FC=8－EC=x－8，DF=12－FC=20－x。则△AEF的面积为。（2）∵，∴当x=10，即BE=10，CF=2时，y有最小值为46。28\n5.（2022年浙江杭州10分）二次函数的图象的一部分如下图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。（1）请判断实数的取值范围，并说明理由；（2）设此二次函数的图象与轴的另一个交点为C，当ΔAMC的面积为ΔABC面积的倍时，求的值。【答案】解：（1）∵二次函数的图象过A（1，0）和点B（0，1），∴。∴b=－1－a。∴。∵二次函数图象开口向下，顶点M在第二象限，∴。∴－1<a<0。28\n（2）由解得，∴C(，0)。∵△AMC的面积为△ABC面积的倍，且两三角形有公共边AC，∴，解得。6.（2022年浙江杭州10分）为了参加市科技节展览，同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在画设计图时，如果在直角坐标系中，抛物线的解析式为，正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长比为5：1，求：（1）抛物线解析式中常数c的值；（2）正方形MNPQ的边长。【答案】解：（1）因各点坐标都关于y轴对称，可以设特殊点坐标。又抛物线的函数解析式为，∵AB=BC，∴设AB=a，则FE=。又∵抛物线关于y轴对称，∴可设B（，a），F（，），代入28\n得：，解得。∴抛物线解析式中常数c的值为。7.（2022年浙江杭州大纲卷10分）杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施。若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元。而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（万元），g也是关于x的解析式；（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元。求y关于x的解析式；（2）求纯收益g关于x的解析式；（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？【答案】解：（1）∵维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，∴，解得。∴y关于x的解析式为。28\n（2）。（3）∵。∴该游乐设施开放16个月后，游乐场的纯收益最大。又∵在0＜x≤16时，g随x的增大而增大，当0＜x≤5时，g＜0，当5＜x≤16时，g＞0，∴6个月后，能收回投资。8.（2022年浙江杭州课标卷10分）杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施。若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元。而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（万元），g也是关于x的解析式；（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元。求y关于x的解析式；（2）求纯收益g关于x的解析式；（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？【答案】解：（1）∵维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，∴，解得。∴y关于x的解析式为。（2）。（3）∵。∴该游乐设施开放16个月后，游乐场的纯收益最大。又∵在0＜x≤16时，g随x的增大而增大，当0＜x≤5时，g＜0，当5＜x≤16时，g＞0，∴6个月后，能收回投资。28\n9.（2022年浙江杭州课标卷12分）已知，直线与x轴，y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90º。且点P（1，a）为坐标系中的一个动点。（1）求三角形ABC的面积S△ABC；（2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。【答案】解：（1）在中令x=0，得点B坐标为（0，1）；令y=0，得点A坐标为（，0）。由勾股定理得|AB|=2。∵△ABC是等腰直角三角形，∴S△ABC=2。（2）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，∴S△BOP=为常数。（3）当点P在第四象限时，∵S△ABO=，S△APO=，∴S△ABP=S△ABO＋S△APO－S△BOP=S△ABC=2，即，解得28\n。当点P在第一象限时，同理可得。10.（2022年浙江杭州10分）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为（为常数）。如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米和含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？【答案】解：（1）将点代入函数关系式,得解得。∴。将代入,得。∴所求反比例函数关系式为。28\n设从药物释放开始到小时，y与t之间的正比例函数关系式为，将代入,得。∴所求正比例函数关系式为。（2）依题意得,解得。∴至少需要经过6小时后，学生才能进入教室。11.（2022年浙江杭州6分）给出下列命题：命题1.点(1，1)是直线y=x与双曲线y=的一个交点;命题2.点(2，4)是直线y=2x与双曲线y=的一个交点;命题3.点(3，9)是直线y=3x与双曲线y=的一个交点;…….（1）请观察上面命题，猜想出命题n(n是正整数);（2）证明你猜想的命题n是正确的.【答案】解：（1）命题n：点（n，n2）是直线y=nx与双曲线y=的一个交点（n是正整数）。（2）证明：联立，解得。28\n∴点（n，n2）是直线y=nx与双曲线y=的一个交点（n是正整数）。12.（2022年浙江杭州12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.(1)写出点M的坐标；(2)当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.【答案】解：(1)∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB=OC=4。∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴A，B的横坐标分别是2和–2。分别代入得，A(2,2)，B(–2，2)。∴M(0，2)。28\n（2）①过点Q作QH^x轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=x–t，由△HQP∽△OMC，得：,即：t=x–2y。∵Q(x，y)在上，∴。当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=–4，解得x=；当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=±2，∴x的取值范围是x¹且x¹±2的所有实数。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与言重呀的关系，分类思想的应用。28\n【分析】(1)求出A，B的坐标即可求得M的坐标。（2）①过点Q作QH^x轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=x–t，由△HQP∽△OMC，得：，由Q(x，y)在上，即可得出t关于x的函数解析式。当点P与点C重合时，梯形不存在；当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形。去掉这两种情形时x的值即为自变量x的取值范围。②分CM>PQ（点P在线段OC上）和CM<PQ（点P在OC的延长线上）两种情况讨论。13.（2022年浙江杭州6分）点A，B，C，D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标14.（2022年浙江杭州10分）设函数（为实数）（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出28\n这两个特殊函数的图像；（2）根据所画图像，猜想出：对任意实数，函数的图像都具有的特征，并给予证明；（3）对任意负实数，当时，随着的增大而增大，试求出的一个值【答案】解：（1）如两个函数为，函数图形函数图形如图所示： （2）不论取何值，函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）且与轴至少有1个交点。证明如下：在中，令，得；令，得。∴不论取何值，函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）。【考点】二次函数综合题【分析】（1）令=0或1，分别得到两个特殊函数，画出图象即可。28\n（2）猜想：不论取何值，函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）。令，得；令，得。可知当x2+2x=0，即x=0或-2时，函数值与的取值无关。（3）只求m的一个值即可．当＜0时，抛物线对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，根据题意，得，而当＜0时，，可确定m的范围，在范围内取m的一个值即可。15.（2022年浙江杭州8分）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．16.（2022年浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．【答案】解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），28\n∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：。将A（1，﹣2）代入得：，解得：m=﹣2。∴反比例函数的解析式为：。（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0。∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=，∴它的对称轴为：直线x=﹣。要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大。∴综上所述，k＜0且x＜﹣。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数和二次函数的性质。【分析】（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：，利用待定系数法即可求得答案；（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0。28\n又由二次函数y=k（x2+x﹣1）的对称轴为x=﹣，可得x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大。（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q，A（1，k），即可得，从而求得答案。28
