2022-2022年江苏苏州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形一、选择题1.（2022江苏苏州3分）已知等腰三角形的一腰长为6，底边长为4，则这个等腰三角形的周长为【】A．13B．14C．15D．16【答案】D。【考点】等腰三角形的性质。【分析】根据等腰三角形的性质，可以推出另一条腰长，即可得周长：6×2＋4=16。故选D。2.（2022江苏苏州3分）已知△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=3b，则cosA=【】A．B．C．D．【答案】C。【考点】锐角三角函数定义。【分析】由已知条件，根据锐角三角函数定义直接求解即可：在△ABC中，∵∠C=90°，c=3b，∴cosA=。故选C。3.（2022江苏苏州3分）如图，点A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，若△ABC的周长为L，则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为【】A．LB．3LC．2LD．L【答案】D。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】∵点A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，∴△ABC∽△AC1B2，△ABC∽△C2BA1，△ABC∽△B1A2C。∴C1B2：BC=1：3，C2A1：AC=1：3，B1A2：AB=1：3。18用心爱心专心\n∴六边形A1A2B1B2C1C2的周长=（AB+BC+CA）。∵△ABC的周长为L，∴六边形A1A2B1B2C1C2的周长=L。故选择D。4.（江苏省苏州市2022年3分）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=3，则下列结论中正确的是【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】锐角三角函数的定义，勾股定理。【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可：∵△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=3，∴。∴根据锐角三角函数的定义，得。∴C选项正确，其余选项。故选C。5.（江苏省苏州市2022年3分）如图，△ABC中，，则BC：AC=【】A.3：4B.4：3C.3：5D.4：5【答案】A。【考点】勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】根据设出两边长，利用勾股定理求出第三边长，从而可求出BC：AC：∵，∴设BC=3x，，AB=5x，则AC=4x。∴BC：AC=ab=3x：4x=3：4。故选A。6.（江苏省2022年3分）如图，给出下列四组条件：①；②；18用心爱心专心\n③；④．其中，能使的条件共有【】A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据全等三角形的判定方法可知：①，可用“SSS”判定；②，可用“SAS”判定；③，可用“ASA”判定；④，是“SSA”，不能判定；因此能使的条件共有3组。故选C。7.（江苏省苏州市2022年3分）如图，在中，、两点分别在、边上．若，，，则的长度是【】A．4B．5C．6D．7【答案】A。【考点】平行线的判定，三角形中位线定理。【分析】由，根据同位角相等两直线平行的判定，可得，又，所以是的中位线，根据三角形中位线等于第三边一半的性质得的长度：。故选A。8.（江苏省苏州市2022年3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于【】A．B．C．D．18用心爱心专心\n【答案】B。【考点】三角形中位线定理,勾股定理逆定理,锐角三角函数定义。【分析】连接BD,在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点，且EF＝2，∴BD＝4。在△BDC中，∵BD=4，BC＝5，CD＝3，∴。∴△BDC是直角三角形。∴。故选B。二、填空题1.（江苏省苏州市2022年2分）如果两个相似三角形的相似比为3：2，那么它们的周长比为▲【答案】3：2。【考点】相似三角形的性质。【分析】根据相似三角形的性质得：两个相似三角形的周长比等于它们的相似比，故它们的周长比为3：2。2.（江苏省苏州市2022年2分）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE//BC，若AD：AB=1：2，则▲。【答案】1：4。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】在△ABC中，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。又∵AD：AB=1：2，∴1：4。18用心爱心专心\n3.（江苏省苏州市2022年2分）如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立，则这个条件可以是▲_。【答案】∠B=∠D（答案不唯一）。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】要使AB•DE=AD•BC成立，只要，从而只要△ABC∽△ADE即可，在这两三角形中，由∠1=∠2可知∠BAC=∠DAE，还需的条件可以是∠B=∠D或∠C=∠AED（答案不唯一）。4.（江苏省苏州市2022年3分）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB=▲。【答案】8。【考点】直角三角形斜边上的中线的性质。【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质直接求解：AB=2CD=8。5.（江苏省苏州市2022年3分）若等腰三角形的腰长为4，底边长为2，则其周长为▲【答案】10。【考点】等腰三角形的性质。【分析】根据等腰三角形的性质及周长公式即可求得其周长：周长=4+4+2=10。6.（江苏省苏州市2022年3分）如图，等腰△ABC的顶角为，腰长为10，则底边上的高AD=▲。【答案】5。【考点】等腰三角形的性质，解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质【分析】先求出底角等于30°，再根据30°角的直角三角形的性质求解：如图．∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=（180°－120°）=30°。18用心爱心专心\n∴AD=AB=5。7.（江苏省苏州市2022年3分）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于▲（结果保留根号）．【答案】。【考点】相似三角形的性质等边三角形的性质,特殊角的三角函数。【分析】过点C作CG，G是垂足，∵△ABC是等边三角形，∴CG＝。又∵S△ABC＝，即，∴AB＝2。又∵AB＝2AD，∴AD＝1。又∵△ABC∽△ADE，∴△ADE是等边三角形。过点F作FH⊥AE，H是垂足，∵∠BAD＝45°，∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠EAF＝45°。∴△AFH是等腰直角三角形。设AH＝FH＝，在Rt△FHE中∠E＝60°，EH＝1－，FH＝，∴。∴。三、解答题1.（2022江苏苏州6分）已知小山的高为h，为了测得小山顶上铁塔AB的高x，在平地上选择一点P，在P点处测得B点的仰角为α，A点的仰角为β，（见表中测量目标图）（1）试用α、β和h的关系式表示铁塔高x；（2）在下表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中α、β的数值；18用心爱心专心\n（3）根据表中数据求出铁塔高x的值（精确到0.01m）。题目测量山顶铁塔的高测量目标已知数据山高BCh=153.48测得数据测量项目第一次第二次平均值仰角α29°17′29°19′α=仰角β34°01′33°57′β=2.（江苏省苏州市2022年5分）燕尾槽的横断面是等腰梯形，如图是一个燕尾槽的横断面，其中燕尾角为550，外口宽为，燕尾槽的深度为，求它的里口宽（精确到）。18用心爱心专心\n【答案】解：过A点作AE⊥BC，垂足为E，在中，∵，∴，∴BC=2BE＋AD≈2×49.0＋180≈278。答：里口宽BC约为278mm。【考点】解直角三角形的应用【分析】过A点作AE⊥BC，垂足为E，则BC=2BE＋AD，在E中，根据三角函数即可求得BE的长，从而求解。3.（江苏省苏州市2022年5分）苏州的虎丘塔塔身倾斜，却历经千年而不倒，被誉为“中国第一斜塔”。如图，BC是过塔底中心B的铅垂线。AC是塔顶A偏离BC的距离。据测量，AC约为2.34米，倾角∠ABC约为2°48′，求虎丘塔塔身AB的长度（精确到0.1米）【答案】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC=，∴AB=AC·sin∠ABC=2.34×sin2°48′≈47.9。答：虎丘塔塔身AB长约为47.9m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】在Rt△ABC中已知∠ABC和AC就可以应用锐角三角函数求出AB。4.（江苏省苏州市2022年6分）如图，苏州某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm,深为30cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度。（精确到1cm）18用心爱心专心\n【答案】解：过点B作BD⊥AC于D，由题意可得：BD=60cm，AD=60cm，在Rt△BDC中：tan12°=BD÷CD，∴CD=BD÷tan12°=60÷0.2126≈282.2（cm）。∴AC=CD-AD=282.2-60=222.2≈222（cm）。答：AC的长度约为222cm。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。【分析】过点B作BD⊥AC于D，由题意可得，所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m；在Rt△BCD中，用正切函数即可求得CD的长，从而由AC=CD－AD求出AC的长。5.（江苏省苏州市2022年6分）已知：如图，正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连结DE，交BC于点P。（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长。【答案】解：（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F。∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°。∴△CDF为正三角形。∴DF=CD。又∵BE=CD，∴BE=DF。又∵DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF，∠PBE=∠PFD。在△DFP和△EBP中，，∴△DFP≌△EBP（ASA）。∴DP=PE（2）由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP。∵D为AC中点，DF∥AB18用心爱心专心\n∴BF=BC=a。∴BP=BF=a。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理。【分析】（1）过点D作DF∥AB，构造三角形全等，可证得△CDF为等边三角形，得到DF=BE，可由ASA证得△DFP≌△EBP，从而得DP=EP。（2）若D为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，有BF=BC=a，点P是BF的中点，得到BP=BF=a。6.（江苏省苏州市2022年6分）为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图。按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入.为标明限高，请你根据该图计算CE.【答案】解：在△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°。∴tan∠BAD＝。∴BD＝9×tan18°。∴CD＝BD－BC＝9×tan18°－0.5。在△ABD中，∠CDE＝∠ABD-∠BAD＝72°。∵CE⊥ED，∴sin∠CDE＝。∴CE＝CD×sin∠CDE＝(9×tan18°－0.5)×sin72°≈2.3（m）。答：CE为2.3m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】应用锐角三角函数定义解直角三角形ABD和CDE即可。7.（江苏省苏州市2022年6分）如图一，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：AE∥BC；（2）如图二，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE∥BC？证明你的结论。18用心爱心专心\n【答案】解：（1）证明：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，∴∠ECD=∠ACB=600。∴∠ECD－∠ACD=∠ACB－∠ACD，即∠ACE=∠BCD。又∵AC=BC，EC=DC，∴△ACE≌△BCD（SAS）。∴∠EAC=∠B=600。∴∠EAC=∠ACB。∴AE∥BC。（2）仍有AE∥BC，证明如下：∵△ABC∽△EDC，∴∠ECD=∠ACB，。∴∠ECD－∠ACD=∠ACB－∠ACD，即∠ACE=∠BCD。且。∴△ACE∽△BCD。∴∠EAC=∠B。∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠ACB。∴∠EAC=∠ACB。∴AE∥BC。【考点】等边和等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定。【分析】（1）由△ABC和△EDC都是等边三角形，通过△ACE和△BCD全等的判定，得到∠EAC=∠B，同时，由等边三角形内角相等的性质得到∠EAC=∠ACB，从而根据内错角相等，两直线平行的判定，得到AE∥BC的结论。（2）与（1）仿，不过将证全等变为证相似。8.（江苏省苏州市2022年6分）如图，在一个坡角为15"的斜坡上有一棵树，高为AB．当太阳光与水平线成500时．测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m，,求树高．(精确到0.1m)【答案】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD。18用心爱心专心\n∴∠BCD=150，∠ACD=500。在Rt△CDB中，CD=7×cosl50，BD=7×sinl50。在Rt△CDA中，AD=CD×tan500=7×cosl50×tan500∴AB=AD—BD=(7×cosl50×tan500一7×sin150)=7(cosl50×tan500一sinl50)≈6.2(m)。答：树高约为6.2m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】构造直角三角形CDB和CDA，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，应用锐角三角函数定义解这两个直角三角形即可求。9.（江苏省苏州市2022年6分）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB=66.5°．(1)求点D与点C的高度差DH；(2)求所用不锈钢材料的总长度(即AD+AB+BC，结果精确到0.1米)．(参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)【答案】解：(1)∵DH=1.6×=l.2，∴点D与点C的高度差DH为12米。(2)过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形。∴MH=BC=1。∴AM=AH－MH=2.2－l=l.2。在RtAMB中，∵∠A=66.5°∴AB=。∴=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0。答：点D与点C的高度差DH为l.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】(1)由看台是四级高度相等的小台阶和看台高为l.6米，即可求出点D与点C的高度差DH。18用心爱心专心\n（2）过B作BM⊥AH于M，构造直角三角形AMB，应用锐角三角函数定义即可求解。10.（江苏省苏州市2022年7分）如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．(1)求证：CD∥AB；(2)求证：△BDE≌△ACE；(3)若O为AB中点，求证：OF=BE．11.（江苏省苏州市2022年6分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：(1)△ABC≌△ADC；18用心爱心专心\n(2)BO=DO．【答案】证明：（1）在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（ASA）。
（2）∵△ABC≌△ADC，∴AB=AD。又∵∠1=∠2，AO=AO，∴△ABO≌△ADO。∴BO=DO。【考点】全等三角形的判定和性质【分析】由已知用AAS判定△ABC≌△ADC，得出AB=AD，再利用SAS判定△ABO≌△ADO，从而得出BO=DO。12.（江苏省2022年10分）如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，，，）【答案】解：（1）设AB与交于点O。在中，∠OAD=600，AD=2∴。又∵AB=10，∴OB=AB－OA=6。在中，∠OBE=∠OAD=600，∴（km）。18用心爱心专心\n∴观测点B到航线的距离为3km。（2）在中，，在中，，∴DE=OD＋OE=。在中，∠CBE=760，BE=3，∴。∴（km）。∵，∴（km/h）。答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）解和即可求得观测点B到航线的距离。（2）解、和，求得CD的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。13.（江苏省苏州市2022年6分）如图，是线段的中点，平分，平分，．(1)求证：≌；(2)若=50°，求的度数．【答案】解：(1)证明：∵点是线段的中点，∴，又∵平分，平分，∴∠1=∠2，∠2=∠3。∴∠1=∠3。在和中，，∴≌。(2)∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠1=∠2=∠3=60°。∵≌，∴50°。∴。18用心爱心专心\n【考点】三角形全等的判定性质，三角形的内角和定理，平角的定义。【分析】(1)根据SAS即可判定两个三角形全等。（2）利用全等三角形的性质求出与的度数，结合三角形的内角和及平角的意义求出所要求的角。14.（江苏省苏州市2022年5分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．(1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于▲度；(2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．【答案】解：(1)30。(2)设过点P的水平线为PQ，则由题意得：∠QPA＝15°，∠QPB＝60°，∵PQ∥HC，∴∠PBH＝∠QPB＝60°，∠APB＝∠QPB－∠QPA＝45°。又∵，∴∠ABC＝30°。∴∠ABP＝180°－∠ABC－∠PBH＝90°。∴在Rt△PBC中，PB＝。∴在Rt△PBA中，AB＝PB＝。答：A、B两点间的距离约34.6米。【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数,三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定。【分析】(1)由tan∠ABC，知∠ABC=300。(2)欲求A、B两点间的距离,由已知可求得△PBA是等腰直角三角形,从而知AB=PB。因此在Rt△PBC中应用三角函数求解即可。18用心爱心专心\n15.（2022江苏苏州8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据3≈1.732）.⑴若修建的斜坡BE的坡角(即∠BAC)不大于45°,则平台DE的长最多为▲米；⑵一座建筑物GH距离坡脚A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？【答案】解：（1）11.0。（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P。在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，PA=AD•cos30°=30×。在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=PA＋AG=+27。在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=（+27）×，∴GH=HM＋MG=15+≈45.6。答：建筑物GH高为45.6米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，从革命利益出发而得出EF的长，即可得出答案：∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，∴∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长。∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=EF=BD=15，DF=。∴DE=DF－EF=15（－1）≈11.0。18用心爱心专心\n（2）利用在Rt△DPA中，DP=AD，以及PA=AD•cos30°，从而得出DM的长，利用HM=DM•tan30°得出即可。18用心爱心专心
