2022-2022年江苏无锡中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形一、选择题1.（江苏省无锡市2022年3分）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是【】A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．D．【答案】D。【考点】三角形中位线定理，三角形三边关系。【分析】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG。∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1。∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=。在△MNG中，由三角形三边关系可知MG－NG＜MN＜MG＋NG，即＜MN＜，∴。当MN=MG＋NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，∴线段MN长的取值范围是。故选D。2.（江苏省无锡市2022年3分）已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE＝2，那么BC的长是【】A.1B.2C.4D.6【答案】C。【考点】三角形中位线定理【分析】∵D、E是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线。15\n∴DE=BC。又∵DE=2，∴BC=2DE=2×2=4。故选C。3.（江苏省2022年3分）如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有【】A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据全等三角形的判定方法可知：①，可用“SSS”判定；②，可用“SAS”判定；③，可用“ASA”判定；④，是“SSA”，不能判定；因此能使的条件共有3组。故选C。4.(江苏省无锡市2022年3分)下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是【】A．两边之和大于第三边B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C．有两个锐角的和等于90°D．内角和等于180°【答案】B。【考点】三角形构成的条件，三角形内角和定理，等腰三角形和直角三角形的性质。【分析】两边之和大于第三边，内角和等于180°，这两条性质对于每个三角形都具有。对于直角三角形，还有其特殊的性质，如两个锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，面积等于两直角边乘积的一半；对于等腰三角形，其特殊性质有：两条边相等，两个底角相等，“三线合一”。故选B。5.(江苏省无锡市2022年3分)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是【】A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似15\n【答案】B。【考点】相似三角形的判定。【分析】根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似的判定定理，直接得出结果：选项A和C，所给的两个三角形无角相等，无对应边的比相等，不相似；选项D，所给的两个三角形只有一组对角相等，无对应边的比相等，不相似；选项B，①与③对顶角相等，OA：OC=OB：OD，两三角形相似。故选B。6.（2022江苏无锡3分）sin45°的值等于【】 A．B．C．D．1【答案】B。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可：sin45°=。故选B。二、填空题1.（2022江苏无锡2分）计算sin36°=▲（保留四个有效数字）。【答案】0.5878。【考点】计算器（三角函数），近似数和有效数字。【分析】因为sin36°≈0.587785252，保留四个有效数字，从左边第一个不是0的数字起，第五个数是8，根据四舍五入法，结果为0.5878。2.（江苏省无锡市2022年3分）△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，则cos∠C=▲（结果保留四个有效数字）．【答案】0.6428。【考点】用计算器计算锐角三角函数值，三角形内角和定理。【分析】根据三角形的内角和定理求∠C；利计算器计算锐角三角函数值求解：∵∠A=60°，∠B=70°，∴∠C=180°－60°－70°=50°。∴cos∠C=cos50°=0.6428。15\n3.（江苏省无锡市2022年3分）已知数1和2，请再写出一个数，使这三个数恰好是一个直角三角形三边的长，则这个数可以是▲（只需填写一个即可）．【答案】（答案不唯一）。【考点】勾股定理的逆定理。【分析】根据勾股定理的逆定理即可解答：如果1和2是直角边，斜边是；如果2是斜边，另一条直角边是。因此这个数可以是或。4.（江苏省无锡市2022年2分）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件：▲时，就可得到△ABC≌△FED（只需填写一个你认为正确的条件）.【答案】BC=ED（答案不唯一）。【考点】全等三角形的判定。【分析】要得到△ABC≌△FED，现有条件为两边分别对应相等，找到全等已经具备的条件，根据全等的判定方法选择另一条件即可得等答案：∵AD=FC⇒AC=FD，又AB=EF，∴加BC=DE就可以用SSS判定△ABC≌△FED；加∠A=∠F或AB∥EF就可以用SAS判定△ABC≌△FED。∴填BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF等皆可。5.（江苏省无锡市2022年2分）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，AB=2，则AC=▲（结果精确到0.01）【答案】1.29。【考点】解直角三角形，锐角三角函数。【分析】根据三角函数定义求解：∵，AB=2，∴AC=2sin40°≈1.29。6.（江苏省无锡市2022年2分）如图，，，则▲．15\n【答案】20°。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质。【分析】根据已知可求得∠的度数，由三角形内角和定理即可求得的对顶角的度数，答案可得：∵，∠=80°，∴∠=80°。∴。【分析】边长为b的内接正三角形DEF，内接于边长为a的正三角形ABC则∠A=∠B=∠EFD=60°,AB=a，EF=DE=b，∠AFE+∠AEF=∠BED+∠AEF=120°∴∠AFE=∠BED。∴△AEF≌△BDE（AAS）。同理可证△AEF≌△CFD。∴AE=BD。∴AF+BD=a。∴AF+AE=a。设△AEF的内切圆圆心为O,半径为r则。又△ABC边上的高为，△DEF边上的高为，则，。由得，，解得。8.(江苏省无锡市2022年2分)如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=▲°．15\n【答案】50。【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质。【分析】垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，可以得到等腰三角形，从而得到角相等：∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠ECA=∠A=30°。又∵∠ACB=80°，∴∠BCE=50°。9.(江苏省无锡市2022年2分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=▲cm．【答案】5。【考点】三角形中位线性质和直角三角形性质。【分析】根据三角形中位线等于第三边一半的性质和直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，直接得出结果：EF=。三、解答题1.（2022江苏无锡10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一点，连接CE，（1）如果CE⊥AB，AB=CD，BE=3AE，求∠B的度数；（2）设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，试求的值．【答案】解：（1）如图，延长BA、CD相交于点M。∵AD∥BC，∴△MAD∽△MBC。15\n∴。∵BC=3AD，∴。∴MB=3MA。设MA=2x，则MB=6x。∴AB=4x。∵BE=3AE，∴BE=3x，AE=x。∴BE=EM=3x，即E为MB的中点。又∵CE⊥AB，∴CB=MC。又∵MB=MC，∴△MBC为等边三角形。∴∠B=60°。（2）如图，延长BA、CD相交于点M。∵AD∥BC，∴△MAD∽△MBC。∴。设S△MAD=S3=a，则S△MAD=9a，S1+S2=8a。又∵2S1=3S2，∴S1=，S2=。∵△EMC与△CEB等高，∴。设ME=7k，则BE=8k，MB=15k。∴MA=MB=5k。∴AE=7k－5k=2k。∴。【考点】相似三角形的判定和性质，等腰（边）三角形的判定和性质。【分析】（1）延长BA与CD，然后根据面积的关系求得△MBC是等边三角形，即可得∠B为60°。（2）可利用面积法求解，因为如果三角形的高相等，则其面积的比等于其底的比，所以可求得AE与BE的比。2.（江苏省无锡市2022年7分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，矩形BCDE的边DE分别与AB、AC交于点F、G．求证：EF=DG．15\n【答案】证明：∵四边形EBCD为矩形，∴∠E=∠EBC=∠BCD=∠D=90°，EB=DC．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。∴∠FBE=∠GCD。∴△EFB≌△DGC（AAS）。∴EF=DG。【考点】矩形和等腰三角形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】证两条线段相等一般是通过全等，先观察所求线段在哪两个三角形中，然后找全等的条件。3.（江苏省无锡市2022年10分）已知：如图，四边形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，BC=2AD，DE⊥CD交边AB于E，连接CE．（1）求证：DE2=AE•CE；（2）若△CDE与四边形ABCD的面积之比为2：5，求sin∠BCE的值．【答案】解：（1）证明：过点D作DF⊥BC于F，DF交CE于G，则ADFB是矩形。∴BF=AD。∴CF=BC－BF=2AD－AD=AD=BF。∵FG∥BE，∴CG=GE。∵∠CDE=90°，∴DG是直角△CDE斜边上的中线。∴DG=GE。∴∠GDE=∠GED。∵GD∥AB，∴∠GDE=∠DEA。∴∠GED=∠DEA。又∵∠CDE=∠A=90°，∴△DEC∽△AED。∴。∴DE2=AE•CE。
（2）∵，∴，15\n又∵，∴，即。∴∴。【考点】矩形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，锐角三角函数定义。【分析】（1）∠CDE=∠A，∠DEA=∠CED对应相等，从而证明三角形相似得出结论。（2）求出BE与CE的比值即为所求。4.（江苏省无锡市2022年9分）如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。（0º＜α＜90º）得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F。（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α；（3）当α＝60º时，求BD的长。【答案】解：（1）△CBD≌△CA1F，证明如下：∵，∴。∵A1C=BC，。∴△CBD≌△CA1F（ASA）。（2）在△CBB1中，∵CB=CB1，∴。15\n又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°。①若B1B=B1D，则∠B1DB=∠B1BD。∵∠B1DB=45°+α，，∴，解得（舍去）。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义。【分析】（1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等．由旋转的意义可证∠A1CF=∠BCD，A1C=BC，∠A1=∠CBD=45°，所以由ASA可得△CBD≌△CA1F。（2）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°。（3）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函数即可求得BD的长。5.（江苏省无锡市2022年9分）（1）已知中，，15\n，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系．【答案】解：（1）如图，共有2种不同的分割法：（2）设，，过点的直线交边于．在中，①若是顶角，如图1，则，，。此时只能有，即，∴，即。②若是底角，则有两种情况：第一种情况：如图2，当时，则，中，，．①由，得，此时有，即；②由，得，此时，即；③由，得，此时，即，为小于的任意锐角。15\n第二种情况，如图3，当时，，，此时只能有，从而，这与题设是最小角矛盾．∴当是底角时，不成立。【考点】等腰三角形的性质。【分析】（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上。（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系。6.（江苏省2022年10分）如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，，，）【答案】解：（1）设AB与交于点O。在中，∠OAD=600，AD=2∴。又∵AB=10，∴OB=AB－OA=6。在中，∠OBE=∠OAD=600，∴（km）。15\n∴观测点B到航线的距离为3km。（2）在中，，在中，，∴DE=OD＋OE=。在中，∠CBE=760，BE=3，∴。∴（km）。∵，∴（km/h）。答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）解和即可求得观测点B到航线的距离。（2）解、和，求得CD的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。7.(江苏省无锡市2022年8分)在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．【答案】解：（1）由题意，得∠BAC=90°，∴。∴轮船航行的速度为km/时。(2)能。理由如下：作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，15\n则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=，AE=AC·cos∠CAE=12。∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF=∠CEF=90°。又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF。∴。∴。∴EF=8。∴AF=AE+EF=20。∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸。【考点】解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）关键是求出BC间的距离，而由题意易知，∠BAC=90°，故可由勾股定理知BC的长度。（2）看轮船能否行至码头，主要是考虑BC直线与直线l的交点所处的位置．若在MN间，则能行至码头MN靠岸，否则不能。8.(江苏省无锡市2022年9分)如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．【答案】解:过C作。在中,在中,在中,∴15\n在中,根据勾股定理有,∴山头C、D之间的距离是千米【考点】解直角三角形,特殊角的三角函数,勾股定理,辅助线作法。【分析】要求CD的值就要把它放到－个直角三角形中,考虑作.只要求出CE,ED即可.而CE可由，而ED可由AD-AE求得,AE同样可由，AD由.15
