2022-2022年江苏泰州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形一、选择题1.（江苏省泰州市2022年4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，a：b＝3：4，运用计算器计算，∠A的度数是【】（精确到1°）A、30°B、37°C、38°D、39°【答案】B。【考点】三角函数定义，计算器的应用。【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中应用正切函数解题：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，，∴tanA=a：b＝3：4=0.75。运用计算器得，∠A≈37°。故选B。2.（江苏省泰州市2022年4分）如图，某防洪大坝的横断面是梯形，斜坡AB的坡度=1∶2.5，则斜坡AB的坡角为【】（精确到1°）A．24°B．22°C．68°D．66°【答案】B。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），正切函数定义，计算器的应用。【分析】算出坡角的正切值，用计算器即可求得坡角：如图，∵坡度tanα=铅直高度AC：水平距离BC=1：2.5=0.4，∴α=21.8°≈22°。故选B。3.（江苏省泰州市2022年4分）在Rt△ABC的直角边AC边上有一点P（点P与点A、C不重合），过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线共有【】A．1条B．2条C．3条D．3条或4条【答案】D。【考点】相似三角形的判定。18\n【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可：（1）若AC＜BC（如图1），过点P作PD1⊥AB，或作PD2⊥AC，或作PD3∥AB，或作∠PD4C=∠A，这样截得的三角形与△ABC相似。即满足条件的直线共有4条。（2）若AC＞BC且（如图2），同（1）有PD1，PD2，PD3。但此时作∠PD4C=∠A时，D4落在了CB延长线上。即满足条件的直线共有3条。（3）若AC＞BC且（如图3），同（1）有PD1，PD2，PD3，PD4。即满足条件的直线共有4条。（4）若AC=BC（如图4），同（1）有PD1，PD2，PD3。此时作∠PD4C=∠A时，PD4与PD3重合。即满足条件的直线共有3条。综上所述，满足条件的直线共有3条或4条。故选D。4.（江苏省泰州市2022年3分）一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（米）与时间t（秒）间的关系为s=10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为【】A．72mB．36mC．36mD．18m【答案】C。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），二次函数的应用【分析】如图，过人的脚底B点向地面作垂线BC，垂足为点C。∵滑下的距离s（米）与时间t（秒）间的关系为s=10t＋2t2，∴当t=4时，AB=s=10×4＋2×42=72。∵坡比为1∶，∴AC=BC18\n在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2+AC2=AB2，即BC2+（BC）2=722。解得x=36。故选C。5.（江苏省泰州市2022年3分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用【】A．3mB．5mC．7mD．9m【答案】A。【考点】勾股定理的应用。【分析】为了不让羊吃到菜，必须不大于点A到圆的最小距离。要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，则AE是最短距离。在Rt△AOB中，∵OB=6，OA=8，∴根据勾股定理得OA=10。又∵OE=OB=6，∴AE=OA－OE=4。∴选用的绳子应该不大于＞4。故选A。6.（江苏省泰州市2022年3分）在平面上，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且满足AB=CD．有下列四个条件：(1)OB=OC；(2)AD∥BC；(3)；(4)∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC＝∠CDB成立，这样的条件可以是【】A.(2)、(4)B.(2)C.(3)、(4)D.(4)【答案】D。【考点】全等和相似三角形的判定和性质【分析】所增加的条件只要能证明△AOB≌△DOC即可。△AOB和△DOC全等已经具备的条件是：AB=CD，∠AOB=∠DOC，只要验证一下四个条件是否满足这个关系即可判断：．①OB=OC，两个三角形是两边及一边的对角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误；18\n②当AD∥BC时，可推出四边形ABCD是等腰梯形或平行四边形，梯形时可证明△BAC≌△CDB，但平行四边形时，不能证明△BAC≌△CDB，故选项错误；③∵，不能判定△AOD∽△COB，∴∠BAC=∠CDB不一定相等，故选项正确；④当∠OAD=∠OBC时，∵∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OBC。∴。∴。∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC。∴∠BAC=∠CDB成立。故选D。7.（（江苏省2022年3分）如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有【】A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据全等三角形的判定方法可知：①，可用“SSS”判定；②，可用“SAS”判定；③，可用“ASA”判定；④，是“SSA”，不能判定；因此能使的条件共有3组。故选C。8.（江苏省泰州市2022年3分）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有【】A.0种B.1种C.2种D.3种【答案】B。18\n【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系。【分析】分两种情况：（1）以27cm为一边，把45cm截成两段，设这两段分别为xcm、ycm（x＜y）。则由两三角形相似，得或（注：27cm不可能是最小边）。由解得x=18，y=22.5，符合题意。由解得x=，y=，但x+y=+==54＞45，不合题意，舍去。（2）以45cm为一边，把27cm截成两段，设这两段分别为xcm、ycm．则x+y=27＜45，所以三边不能构成三角形。因此，不合题意，舍去．综上所述，截法只有一种。故选B。二、填空题1.（2022江苏泰州2分）如果，则锐角的余角是▲度。【答案】30。【考点】特殊角的三角函数值，余角定义。【分析】先根据特殊角的三角函数值求α，再根据互余两角的关系求解：∵，∴α=60°。∴锐角α的余角90°－60°=30°。2.（江苏省泰州市2022年3分）如图所示，在△ABC和△DCB中,AB＝DC，要使△ABO≌△DCO，请你补充条件▲（只要填写一个你认为合适的条件）.【答案】∠BAO=∠CDO。（答案不唯一）【考点】全等三角形的判定。【分析】在△ABO和△DCO中，已知了AB=DC，∠AOB=∠COD，因此只需添加一组对应角相等即可：当∠BAO=∠CDO或∠ABD=∠ACD时，△ABO≌△COD。（答案不唯一）。3.（江苏省泰州市2022年3分）如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC；在网格上画出一个与△ABC相似且面积最大的△A1B1C118\n，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则△A1B1C1的最大面积是▲.【答案】5。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】因为限制条件比较多，关键是新三角形的三个顶点必须都落在小正方形的顶点上，所以可以对原三角形的边扩大一定的倍数来解决：如图所示，∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为，又S△ABC=1∴。4.（江苏省泰州市2022年3分）已知：如图，△ABC中，且D平分∠ABC，D为AC的中点，DE∥BC交AB于点E，若BC=4，则EB长为▲.【答案】【考点】三角形中位线定理，平行的性质，等腰三角形的判定【分析】根据已知可求得ED为三角形的中位线，从而可求得DE的长，再根据平行线的性质及已知可得到BE=DE，即求得了EB的长：∵D为AC的中点，DE∥BC，BC=4，∴ED=BC=2，∠EBD=∠CBD。∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠EDB。∴EB=ED=2。5.（江苏省泰州市2022年3分）李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植,需要修一个如右图的育苗棚,棚宽a=3m,棚顶与地面所成的角约为25°,长b=9m,则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需▲m2.(利用计算器计算,结果精确到1m2)18\n【答案】30。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。【分析】利用25°余弦值求得大棚的宽，乘以长即可：∵棚顶的宽=，∴覆盖在顶上的塑料薄膜面积=3.3×9≈30（m2）．6.（江苏省泰州市2022年3分）在边长为3㎝、4㎝、5㎝的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，此圆的半径为____㎝.【答案】1。【考点】三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理。【分析】根据勾股定理的逆定理，由三角形的三边长可判断出此三角形是直角三角形。已知了直角三角形三边的长，可直接利用直角三角形内切圆半径公式求出此圆的半径：若设该直角三角形的内切圆的半径为r，则有：。故此圆的半径为1cm。7.（江苏省泰州市2022年3分）如图，AB、CD相交于点O，AB=CD，试添加一个条件使得△AOD≌△COB，你添加的条件是▲_（只需写一个）.【答案】AO=CO（答案不唯一）。【考点】全等三角形的判定。【分析】要使△AOD≌△COB，已知AB=CD，∠AOD=∠COB所以可以再添加一组边从而利用SAS来判定其全等，可加AO=CO或BO=DO：若添加AO=CO，∵AB=CD，AO=CO，∴OD=OB。18\n又∵∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS）。8.（江苏省泰州市2022年3分）为美化小区环境，某小区有一块面积为30的等腰三角形草地，测得其一边长为10，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为▲．【答案】或或。【考点】解直角三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质。【分析】分类讨论：如图，△ABC中作BC边上的高AD。（1）当底边BC=10时，∵S=30，∴高AD=6。在Rt△ABD中，由勾股定理求出，∴周长=。（2）当AB=AC=10时，设BD=x，AD=h，则BC=2x。∵S=30，∴xh=30。在Rt△ABD中，由勾股定理得，，即（舍去负值）。∴x，h是一元二次方程的两个根，解得。∴当时，BC=，△ABC的周长=（此时△ABC是钝角三角形），当时，BC=，△ABC的周长=（此时△ABC是锐角三角形）。综上所述，这块三角形草地上低矮栅栏长度为或或。9.（2022江苏泰州3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是▲．【答案】4。【考点】点到直线距离的概念，角平分线的性质。【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则DE即为点D到AB的距离。∵AD是∠BAC的平分线，CD=4，∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等性质，得DE=CD=4，即点D到AB的距离为4。三、解答题18\n1.（2022江苏泰州8分）求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。已知：求证：证明：2.（2022江苏泰州8分）已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D。求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD；（3）OE是CD的垂直平分线。【答案】证明：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=ED。∴△EDC为等腰三角形。∴∠ECD=∠EDC。18\n（2）∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE=∠ODE=90°。又∵OE平分∠AOB，∴EC=ED。在Rt△OCE和Rt△ODE中，OE=OE，EC=ED，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL）。∴OC=OD。（3）∵EC=ED，OC=OD，∴E、O都在CD的垂直平分线上。∴OE是CD的垂直平分线。【考点】角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定。【分析】（1）点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，根据角平分线的性质可知EC=ED，根据等腰三角形等边对等角的性质得∠ECD=∠EDC。（2）由已知条件结合角的平分线上的点到角的两边的距离相等证明Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），即可求得OC=OD。（3）由EC=ED，OC=OD即知E、O都在CD的垂直平分线上，根据两点确定一条直线的公理知OE是CD的垂直平分线。3.（江苏省泰州市2022年8分）台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索。接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°、“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°。已知B在A的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点C的距离。【答案】解：如图：过点C作CE⊥AE于点E，过点B作BF⊥CE于点F，过点B作BG⊥AC于点G，则四边形AEFB是矩形。∵点C在点A的南偏东60°，∴∠2=60°，∠1=90°－∠2=90°－60°=30°。又∵点C在点B的南偏东30°，∴∠3=30°。在Rt△ABC中，∠1=30°，则∠ABC=90°+30°=120°。∴∠BCA=180°－30°－120°=30°。18\n∴∠1=∠BCA。∴BC=AB=100浬。∴AC=2AC。在Rt△ABG中，AG=AB•∠1=AB•cos30°=100（浬）。∴AC=（浬）。答：A到达出事地点C的距离浬，B到达出事地点C的距离100浬。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。【分析】根据题意画出图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题来解答。4.（江苏省泰州市2022年7分）已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=EC.求证：AB=AC【答案】证明：∵AD＝AE，∴∠AEB＝∠ADC。∵BD＝EC，∴BE＝CD。∴△ABE≌△ACD（SAS）。∴AB＝AC。【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】欲证AB=AC，可以证明它们所在的△ABE与△ACD全等，全等的条件已经有两组边对应相等，只要再证明它们的夹角相等就可以了，根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠AEB＝∠ADC。从而得证。5.（江苏省泰州市2022年9分）高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB（如图1）．（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度．（3分）（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m、n…表示，角度用希腊字母α、β…表示）；（3分）②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示）．（3分）18\n【答案】解：（1）连结AC、EF，∵太阳光线是平行线，∴AC∥EF。∴∠ACB=∠EFD。∵∠ABC=∠EDF=90°，∴△ABC∽△EDF。∴。∴。∴AB=4.2。答：大树AB的高是4.2米。（2）①②如图MG=NB=m，MN=GB=h，∠ABG=α，∴AG=mtanα。∴AB=AG＋GB=mtanα＋h（米）。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）首先根据平行线的性质判断出△ABC∽△EDF；得到比例关系式，可求得AB的值。（2）根据题意，设计测量方法，符合三角函数的定义，且易于操作即可。6.（江苏省泰州市2022年10分）2022年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”．在“创卫”过程中，要在东西方向M，N两地之间修建一条道路．已知：如图点周围180m范围内为文物保护区，在MN上点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走500m到达B处，测得C在B的北偏西方向上．（1）MN是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？18\n【答案】解：（1）过C作CH⊥AB于点H，设，则∵∠CAE=450，∠CBF=600，∴∠CAH=450，∠CBH=300，∴，。∵AH＋HB=AB，∴。∴。∴MN不会穿过保护区。（2）设原计划完成这项工程需要天，则，解之得：。经检验知：是原方程的根。答：原计划完成这项工程需要25天。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），分式方程的应用。【分析】（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形即可判断。（2）根据题意列方程求解。7.（江苏省泰州市2022年9分）如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即tanα）为1︰1.2，坝高为5米.现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1︰1.4.已知堤坝总长度为4000米.（1）求完成该工程需要多少土方？（4分）（2）该工程由甲、乙两个工程队合作完成，按原计划需要20天.准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率.甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成.问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？18\n【答案】解：（１）作DG⊥AB于G，作EH⊥AB于H。 ∵CD∥AB，∴EH＝DG＝５米。∵背水坡AD的坡度i=1︰1.2，∴。∴AG=6米,。∵新的背水坡EF坡度=1︰1.4，∴。∴FH=7米。∴FA=FH+GH－AG=7＋1－6=2（米）。∴SADEF=（ED+AF）·EH=(1+2)×5=7.5（平方米）∴V=7.5×4000=30000(立方米)。答：完成该工程需要30000立方米土方。(2)设甲队原计划每天完成x立方米土方，乙队原计划每天完成y立方米土方。根据题意，得，化简，得，解之，得。答：甲队原计划每天完成1000立方米土方，乙队原计划每天完成500立方米土方。【考点】解直角三角形的应用，二元一次方程的应用（工程问题）。【分析】（1）作DG⊥AB于G，作EH⊥AB于H，构造直角三角形DAG和EFH，由已知坡度解两个直角三角形，即可梯形的下底，从而求出梯形面积和体积。（2）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解。本题等量关系为：①原计划工时20天×甲、乙两个工程队工效之和=工作总量3000020×=30000②实际工时15天×甲、乙两个工程队新工效之和=工作总量3000015×=30000。18\n8.（江苏省2022年10分）如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，，，）【答案】解：（1）设AB与交于点O。在中，∠OAD=600，AD=2∴。又∵AB=10，∴OB=AB－OA=6。在中，∠OBE=∠OAD=600，∴（km）。∴观测点B到航线的距离为3km。（2）在中，，在中，，∴DE=OD＋OE=。在中，∠CBE=760，BE=3，∴。∴（km）。∵，∴（km/h）。答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）解和即可求得观测点B到航线的距离。18\n（2）解、和，求得CD的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。9.（江苏省泰州市2022年10分）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）10.（江苏省泰州市2022年10分）一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°。（1）求证：GF⊥OC；（2）求EF的长（结果精确到0.1m）。（参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91）18\n【答案】解:（1）在四边形BCFG中，∵∠GFC＝360°－90°－65°－（90°＋25°）＝90°，∴GF⊥OC。（2）如图，作FM∥GH交EH与M，则有平行四边形FGHM，∴FM＝GH＝2.6m，∠EFM＝25°。∵FG∥EH，GF⊥OC，∴EH⊥OC在Rt△EFM中：EF＝FM·cos25°≈2.6×0.91＝2.4m【考点】多边形内角和定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）欲证GF⊥OC，只要证90°，在四边形BCFG中应用四边形内角和是360°，即可证得。（2）欲求EF的长，就要把它放到一个三角形中，作FM∥GH交EH与M，易证EH⊥OC，解Rt△EFM可得。11.（2022江苏泰州10分）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内．（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离．（精确到0.1m，参考数据：,,）【答案】解：（1）过点C作CE⊥BP于点E，18\n在Rt△CPE中，∵PC=30m，∠CPE=45°，∴。∴CE=PC•sin45°=30×（m）。∵点C与点A在同一水平线上，∴AB=CE=≈21.2（m）。答：居民楼AB的高度约为21.2m。18
