【2022版中考12年】上海市2022-2022年中考数学试题分类解析专题10四边形选择题1.（上海市2022年4分）在下列命题中，真命题是【】一、两条对角线相等的四边形是矩形；二、两条对角线互相垂直的四边形是菱形；三、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；四、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。【答案】D。【考点】正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定．【分析】A、等腰梯形也满足此条件，但不是矩形；故本选项错误；B、两条对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，故本选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形既是矩形又是菱形的四边形是正方形，所以两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确。故选D。2.（上海市2022年4分）已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是【】A．B．C．D．【答案】D。【考点】正方形的判定。【分析】由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形。故选D。3.（上海市2022年4分）矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是【】．(A)点B、C均在圆P外；(B)点B在圆P外、点C在圆P内；(C)点B在圆P内、点C在圆P外； (D)点B、C均在圆P内．【答案】C。【考点】点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理。16\n【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP=2，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD=。点B、C到P点的距离分别为：PB=6，PC=。∴由PB＜半径PD，PC＞半径PD，得点B在圆P内、点C在外。故选C。4.（2022年上海市4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是【】（A）∠BDC=∠BCD（B）∠ABC=∠DAB（C）∠ADB=∠DAC（D）∠AOB=∠BOC【答案】C。【考点】等腰梯形的判定，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】根据等腰梯形的判定，逐一作出判断：A.由∠BDC=∠BCD只能判断△BCD是等腰三角形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形；B.由∠ABC=∠DAB和AD∥BC，可得∠ABC=∠DAB=900，是直角梯形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形；二、填空题1.（上海市2022年2分）已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是16\n▲．【答案】AB=AC或∠B=∠C或AE=AF。【考点】菱形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质。【分析】根据菱形的判定定理，结合等腰三角形和三角形中位线的性质，可添加一个条件：AB=AC或∠B=∠C或AE=AF。2.（上海市2022年2分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是4和2，那么，阴影部分的面积为▲。【答案】2－2。【考点】正方形的性质。【答案】7。【考点】梯形中位线定理。【分析】根据梯形的中位线长等于两底和的一半，进行计算：∵梯形的两底长分别为6和8，∴这个梯形的中位线长为。4.（上海市2022年3分）如图，为平行四边形的边延长线上一点，连结，交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：▲．【答案】△AFD∽△EFC（或△EFC∽△EAB，或△EAB∽△AFD）。【考点】相似三角形的判定，平行四边形的性质。【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△AFD∽△EFC∽△EAB。5.（上海市2022年4分）如图，平行四边形中，是边上的点，交16\n于点，如果，那么▲．【答案】。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵四边形是平行四边形，∴。∴∽。∴。为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等。三、解答题1.（上海市2022年12分）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q． 探究：设A、P两点间的距离为x． （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q16\n的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由． （图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）【答案】解：（1）PQ＝PB。证明如下： 过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）。∴NP＝NC＝MB。 ∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°。 而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM。 又∵∠QNP＝∠PMB＝90°，∴△QNP≌△PMB（AAS）。∴PQ＝PB。 （2）作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形。 ∴PT＝CB＝PN． 又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN（HL）。∴S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN ＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1∴y＝x2－＋1（0≤x＜）。（3）△PCQ可能成为等腰三角形。 ①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时x＝0。 ②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3） 此时，QN＝PM＝x，CP＝－x，CN＝CP＝1－x。 ∴CQ＝QN－CN＝x－（1－x）＝x－1。当－x＝x－1时，得x＝1。【考点】二次函数综合题，正方形的性质。【分析】16\n（1）过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，可得四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形；根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得△QNP≌△PMB，故PQ=PB。（2）由（1）的结论，根据图形可得关系S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN，代入数据可得解析式。（3）分①当点P与点A重合，与②当点Q在边DC的延长线上，两种情况讨论，分别讨论答案。是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。【答案】解：（1）证明：∵∠DEF=45°，∴∠DFE=90°－∠DEF=45°。∴∠DFE=∠DEF。∴DE=DF。又∵AD=DC，∴AE=FC。∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，∴AD切圆B于点A。同理：CD切圆B于点C。又∵EF切圆B于点G，∴AE=EG，FC=FG。∴EG=FG，即G为线段EF的中点。（2）根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1－y，根据勾股定理，得（x+y）2=（1－x）2+（1－y）2，∴y=（0＜x＜1）。（3）当EF=时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，即x＋=，解得x1=16\n或x2=。①当AE=时，△AD1D∽△ED1F，证明如下：设直线EF交线段DD1于点H，由题意，得：△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH=D1H。∵AE=，AD=1，∴AE=ED。∴EH∥AD1，∠AD1D=∠EHD=90°。又∵∠ED1F=∠EDF=90°，∴∠ED1F=∠AD1D。∴△ED1F∽△AD1D。②当AE=时，△ED1F与△AD1D不相似。（1）BE的长；（2）的正切值。【答案】解：（1）设∵，B点折后与点D重合，∴。∴。∴。∴。∴，∴。16\n（2）∵，∴，即的正切值为。【考点】等腰梯形的性质，翻折对称的性质，解直角三角形。【分析】（1）由翻折对称的性质得到DE=BE，由已知可求得EC的值，从而可得到BE的长。（2）已知DE=BE，则根据正切公式即可求得其值。4.（上海市2022年10分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E、F分别是边AC和BC的中点，求证：四边形CEDF是菱形.【答案】证明：∵AB为弦，CD为直径所在的直线且AB⊥CD，∴AD=BD，即CD是AB的垂直平分线。∴AC=BC。又∵E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，∴DF=CE=AC，DE=CF=BC。∴DE=DF=CE=CF。∴四边形CEDF为菱形。【考点】菱形的判定，三角形中位线定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质。【分析】由垂径定理知，点D是AB的中点，有AD=BD，由线段垂直平分线的性质，可得AC=BC；由E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，得DF=CE=AC，DE=CF=BC，即DE=DF=CE=CF，从而可得四边形CEDF为菱形。5.（上海市2022年12分）已知：如图，在梯形中，，．点，，分别在边，，上，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，求证：四边形是矩形。16\n【答案】证明：（1）∵在梯形中，，∴。 ∵，∴。 ∴，∴，即。 ∵，∴四边形是平行四边形。 （2）∵，，，∴。∴。∴。∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定。【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，由于，只需证明即可。根据对边对等角，和等腰梯形的性质得到．则，得到，从而得证。（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角．根据△的内角和是180°，结合和，得到，由平角定义得∠EFG=90°。6.（上海市2022年12分）如图，在梯形中，，平分，，交的延长线于点，．（1）求证：；（2）若，，求边的长．【答案】解：（1）证明：∵，∴。∵平分，∴。∴。16\n又∵，∴。∴梯形是等腰梯形，即。（2）如图，作，，垂足分别为，则。在中，，∴。又∵，且，∴，得。同理可知，在中，。∵，∴。又∵，∴。∴。∵，∴。∵，，∴四边形是平行四边形。∴。∴。【考点】等腰梯形的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）要求证，即证明梯形是等腰梯形，只要证明即可。（2）作，，垂足分别为，则，因而本题就可以转化为求的长度的问题，根据勾股定理即可求出。7.（上海市2022年12分）如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形．【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴。16\n又∵是等边三角形，∴，即。∴平行四边形是菱形。（2）∵是等边三角形，∴。∵，∴。∵，∴．∴。∵四边形是菱形，∴。∴四边形是正方形。（5分）；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长（4分）；（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长（5分）．【答案】解：（1）取中点，联结，∵为的中点，∴，。又∵，∴。∴，得。16\n（2）由已知得。∵以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，∴，即。解得，即线段的长为。（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得。由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②。①当时，∵，∴。∴。∴，易得．得②当时，∵，∴。∴。又，∴。∴，即，得，解得，（舍去）．即线段的长为2。综上所述，所求线段的长为8或2。解之即可。（3）根据相似三角形的判定和性质，由于。从而只要或即可。因此分此两情况讨论即可。16\n9.（上海市2022年10分）如图，在梯形中，，联结．（1）求的值；（2）若分别是的中点，联结，求线段的长．【答案】解：（1）过点作，垂足为点。∵，∴。又∵，∴。∴。（2）∵，∴。又∵分别是的中点，∴。【考点】等腰梯形的性质，锐角三角函数定义，梯形的中位线。【分析】（1）过点作，垂足为点，在中应用锐角三角函数定义可求，从而求出。在中应用锐角三角函数定义可求的值。（2）根据等腰梯形的性质，可求出，从而根据梯形的中位线定理求出线段的长。10（上海市2022年12分）已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC.16\n【答案】解：（1）作图如下：证明：∵AB=AD，∠BAO=∠DAO，AO=AO，∴△ABO≌△AOD（SAS）。∴BO=DO。∵AD//BC,∴∠OBE=∠ODA,∠OAD=OEB，∴△BOE≌△DOA（AAS）。∴BE=AD。∴BEAD。∴四边形ABDE为平行四边形。又∵AB=AD，∴四边形ADBE为菱形。（2）设DE=2a，则CE=4a，过点D作DF⊥BC。∵∠ABC＝60°，∴∠DEF=60°。∴∠EDF=30°。∴EF=DE=a，则DF=，CF=CE－EF=4a－a=3a。∴∴DE=2a，EC=4a，CD=构成一组勾股数。∴△EDC为直角三角形。∴ED⊥DC。【考点】梯形的性质，角平分线的性质，菱形的判定，勾股定理和逆定理。而可根据DE、EC、CD的长由勾股定理逆定理证得DE⊥DC。11.（上海市2022年12分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．16\n（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．【答案】解：（1）证明：连接BD。∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∠ACB=∠DBC∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，∠DBC=∠FBC。∴AC=BF，∠ACB=∠CBF。∴AC∥BF。∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）∵DE2＝BE·CE，∴。∵∠DEB=∠DEC=90°，∴△BDE∽△DEC。∴∠CDE=∠DBE，∴∠BFC=∠BDC=∠BDE＋∠CDE=∠BDE＋∠DBE=90°。∴四边形ABFC是矩形。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，等量代换。【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形。（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形。12.（2022上海市12分）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当时，求证：四边形BEFG是平行四边形．16\n【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF。∴△BAE≌△DAF（ASA）。∴BE=DF。（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC。∴△ADG∽△EBG。∴。又∵BE=DF，，∴。∴GF∥BC。∴∠DGF=∠DBC=∠BDC。∴DF=GF。又∵BE=DF，∴BE=GF。∴四边形BEFG是平行四边形。16
