【2022版中考12年】广东省广州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题10四边形一、选择题1.（2022年广东广州2分）如图，若四边形ABCD是半径为1cm的⊙O的内接正方形，则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为【】（A） （B） （C） （D）2.（2022年广东广州3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°．AC＝4．则BD的长为【】（A）（B）（C）（D）8【答案】B。14\n3.（2022年广东广州3分）如图，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长为【】（A）8（B）9.5（C）10（D）11.5【答案】A。【考点】平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】如图，延长BG交AD于H，连接EH。∵BG⊥AE，AB=6，BG=，∴根据勾股定理可求AG=2。∵AG是∠BAD的平分线，AG⊥BH，∴△ABH是等腰三角形。∴AH=6。∵AD=9，∴DH=3。∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA。∵∠BAE=∠DEA，∴∠BAE=∠BEA。∴AB=BE=6。∴CE=3。∵CE=，DH=3，DH∥CE，∴DHEC是平行四边形。∴EH=6。∵DF∥AB，∴∠DFA=∠FAB。∵∠FAB=∠FAD，∴∠DFA=∠FAD。∴DF=AD=9，CD=AB=6。∴CF=3。在Rt△BEG中，BE=6，BG=，由勾股定理得EG=2。∴AE=4。14\n∵DF∥AB，∴△ABE∽△FCE。∴，即。∴FE=2。∴△CEF的周长=CE＋CF＋FE=8。故选A。4.（2022年广东广州3分）已知ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝【】A、4B、12C、24D、285.（2022年广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】 A．26 B．25 C．21 D．206.（2022年广东广州3分）在平面中，下列命题为真命题的是【】A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；14\nB、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误。故选C。7.（2022年广东广州3分）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则=【】ABCD二、填空题1.（2022年广东广州3分）如图，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE、FG、HI都垂直于AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若已知，则=▲。14\n2.（2022年广东广州3分）假设电视机屏幕为矩形。“某个电视机屏幕大小是64cm”的含义是矩形对角线长为64cm。如图，若该电视机屏幕ABCD中，，则电视机屏幕的高CD为▲cm。（精确到1cm）3.（2022年广东广州3分）已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：▲【答案】如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直。【考点】逆命题。【分析】逆命题，是指把一个复合命题的条件和结论互换位置得到的命题。因此，命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”的逆命题是“如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直”。三、解答题14\n1.（2022年广东广州14分）如图，已知正方形ABCD的面积为S。（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）（2）用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1；（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S2，则S1与S2是否相等？为什么？【答案】解：（1）作图如图所示：（2）设正方形ABCD的边长为a，则AA1=2a，。同理，。∴。（3）S1=S2。理由如下：画出图形，连接BD、BD1，∵△BDD1中，AB是中线，∴S△ABD1=S△ABD。又∵△AA1D1中，BD1是中线，∴S△ABD1=S△A1BD1。∴S△AA1D1=2S△ABD。14\n同理，得S△CC1B1=2S△CBD。∴S△AA1D1+S△CC1B1=2（S△ABD+S△CBD）=2S。同理，得S△BA1B1+S△DD1C1=2S。∴S2=S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S四边形ABCD=5S。由（2）得，S1=5S，∴S1=S2。2.（2022年广东广州12分）如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，路线2是B⇒C⇒F⇒E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．【答案】解：两条路线的路程一样长。证明如下：14\n延长FD交AB于点G。∵CE垂直平AF，∴FE＝EA，DA＝DF。又∵AB∥DC，∴FD＝DG。∴AD＝DG。∵AB∥DC，BC∥GF，∴四边形BCDG是平行四边形。∴BC＝GD。∴BC＝AD＝FD。又∵BC∥DF，∴四边形BCFD是平行四边形。∴BD＝CF。∴BD＋DA＋AE＝BC＋CF＋FE。3.（2022年广东广州10分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形5.（2022年广东广州9分）如图，在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。证明：四边形DECF是平行四边形。14\n【答案】证明：∵点D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，∴DE//BC，DE=BC=EC。∴四边形DECF是平行四边形。【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。6.（2022年广东广州14分）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；（3）若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。【答案】解：(1)证明：∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=900。∵EF∥AB，GH∥AD，∴ABEA，AGHD都是矩形。∴AE=BF，AG=DH。∵AG=AE，∴BF=DH。∴ΔABF≌ΔADH（SAS），∴AF=AH。14\n（2）证明：如图，将ΔADH绕点A顺时针旋转90度得ΔADH1。由旋转和正方形的性质知，点D与点B重合，H1、D、F共线，∠H1AD=∠HAD，AH1=AH，H1B=HD。∵∠BAD=900，∠FAH=450，∴∠BAF＋∠HAD=450。∴∠H1AF=∠BAF＋∠H1AD=∠BAF＋∠HAD=450=∠FAH。又∵AF=AF，∴ΔH1AF≌ΔFAH（SAS）。BF＋BH1=FH1=FH。∵由（1）知，AE=BF，AG=DH，∴FH1=BF＋BH1=BF＋DH=AE＋AG。∴AG+AE=FH。（3）设PE=x,PH=y,则BG=1-x,BF=1-y。∵RtΔGBF的周长为1，∴FG=x+y-1。由勾股定理，得，化简得xy=。∴矩形EPHD的面积为。14\n7.（2022年广东广州9分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．求证：∠A＋∠C＝180°8.（2022年广东广州9分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF．求证：△ACE≌△ACF．14\n9.（2022年广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=，即sin60°=，解得CE=。（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，∵F为AD的中点，∴AF=FD。在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。14\n在△AFG和△CFD中，∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD，∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF，AG=CD。∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=AD=BC=5。∴AG=AF。∴∠AFG=∠G。在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解。（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解。14\n②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。10.（2022年广东广州9分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长.14
