2022年中考数学模拟试题汇编反比例函数(二)4．如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA:AB:OC＝5:5:3．点D是线段OC上一点，且OD＝BD．（1）若直线y＝kx＋m（k≠0）过B、D两点，求k的值；（2）在（1）的条件下，反比例函数y＝的图象经过点B．①求证：反比例函数y＝的图象与直线AB必有两个不同的交点；xyOCABEF②设反比例函数y＝的图象与直线AB的另一个交点为E，已知点P（p，－n－1），Q（q，－n－2）在线段AB上，当点E落在线段PQ上时，求n的取值范围．解：（1）∵A（5n，0），OA:OC＝5:3，点C在y轴的正半轴上∴C（0，－3n）∵BC∥OA，∴点B的纵坐标为－3n过点B作BG⊥OA于G，则BG＝－3nxyOCABEFGD设OG＝x，在Rt△ABG中，(－5n－x)2＋(－3n)2＝(－5n)2解得x＝－n或x＝－9n（舍去）∴B（n，－3n）设OD＝t，∵点D是线段OC上一点，且OD＝BD∴t2＝(－3n－t)2＋(－n)2，∴t＝－n∴D（0，－n）把B、D的坐标代入y＝kx＋m，得解得k＝－（2）①∵比例函数y＝的图象经过点B，∴m＝n(－3n)＝－3n2∴y＝－由A（5n，0），B（n，－3n）可得直线AB的解析式为y＝x－n由y＝－和y＝x－n消去y并整理得：3x2－15nx＋12n2＝03\n∵△＝(－15n)2－4×3×12n2＝9n2＞0∴反比例函数y＝－的图象与直线AB必有两个不同的交点联立解得∴E（4n，－n）当点E过点P时，有－n－1＝－n，∴n＝－4当点E过点Q时，有－n－2＝－n，∴n＝－8∴当点E落在线段PQ上时，n的取值范围是：－8≤n≤－45．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A（1，k）和点B（－1，－k）．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．解：（1）当k＝－2时，A（1，－2）设反比例函数为y＝，则k′＝1×(－2)＝－2∴反比例函数的解析式为y＝－（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大则反比例函数只能在二、四象限，k′＝k＜0此时二次函数开口向下，故x≤－＝－才满足要求综上所述，k＜0且x≤－（3）∵y＝k(x2＋x－1)＝k(x＋)2－k，∴Q（－，－k）∵A（1，k），B（－1，－k），∴A、B两点关于原点O对称，即O是AB的中点又∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，∴OQ＝OA∴(－)2＋(－k)2＝12＋k2，解得k＝±6．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA＝．（1）求反比例函数的解析式；GBFCxOyAHDE（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G，求线段OG的长．3\n解：（1）在Rt△BOA中，∵OA＝4，tan∠BOA＝∴AB＝OA·tan∠BOA＝2，∴B（4，2）∵点D为对角线OB的中点，∴D（2，1）GBFCxOyAHDE∵点D在反比例函数y＝的图象上，∴1＝，∴k＝2∴反比例函数的解析式为y＝（2）设点F（a，2），则2a＝2，∴CF＝a＝1连接FG，设OG＝t，则OG＝FG＝t，CG＝2－t在Rt△CGF中，FG2＝CF2＋CG2∴t2＝12＋(2－t)2，解得t＝∴OG＝t＝3
