2022年中考数学模拟试题汇编一元二次方程【例1】已知：关于的方程．⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数的图象关于轴对称．①求二次函数的解析式；②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；⑶在⑵条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.【解析】解：（1）分两种情况：当时，原方程化为，解得，（不要遗漏）∴当，原方程有实数根.当时，原方程为关于的一元二次方程，∵.∴原方程有两个实数根.8\n（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.（2）①∵关于的二次函数的图象关于轴对称，∴.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）∴∴抛物线的解析式为.②∵，（判断大小直接做差）∴（当且仅当时，等号成立）.（3）由②知，当时，.∴、的图象都经过.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）∵对于的同一个值，，∴的图象必经过.又∵经过，∴.（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设.∵对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，∴，8\n∴.又根据、的图象可得，∴.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）∴.∴.而.只有，解得.∴抛物线的解析式为.【例2】关于的一元二次方程.（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.8\n【解析】：（1）由题意得解得解得当且时，方程有两个不相等的实数根.（2）由题意得解得（舍）(始终牢记二次项系数不为0)（3）抛物线的对称轴是由题意得(关于对称轴对称的点的性质要掌握)与抛物线有且只有一个交点(这种情况考试中容易遗漏)另设过点的直线（）把代入，得，整理得有且只有一个交点，解得综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，【例3】8\n已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．（1）求的值；（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。【解析】(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以，抛物线对称轴，所以，．（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0．因为，=16－8=80．所以，方程有两个不同的实数根，分别是，．（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为．若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可．8\n由==<0，得又是正整数，所以得最小值为2．【例4】已知抛物线，其中是常数．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.（1）依题意，得，∴∴抛物线的顶点坐标为（2）∵抛物线与轴交于整数点，∴的根是整数．∴是整数．∵，∴是整数．∴是整数的完全平方数．∵，∴．(很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)8\n∴取1，4，当时，；当时，．∴的值为2或．∴抛物线的解析式为或．【例5】已知：关于的一元二次方程（为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式．【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m－1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx－x－1)(x+1)就可以看出当x=－1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根,∴∵,∴的取值范围是且.8\n（2）证明：令得.∴.∴(这样做是因为已经知道判别式是,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)∴抛物线与轴的交点坐标为,∴无论取何值，抛物线总过定点（3）∵是整数∴只需是整数.∵是整数，且,∴当时，抛物线为．把它的图象向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为8
