一元二次方程的几何应用一、选择题1.（2022贵州安顺，T6，F3）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A.12B.9C.13D.12或9【答案】A【解析】解x2-7x+10=0，得x=2或5.已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，∴腰长为5，底边长为2.∴该等腰三角形的周长为5+5+2=12.【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边.二、填空题1.（2022湖北黄冈，12题，3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为__________【答案】16【解析】解该方程得x1=3，x2=7，因为两边长为3和6，所以第三边x的范围为：6-3<x<6+3，即3<x<9，所以舍去x1=3，即三角形的第三边长为7，则三角形的周长为3+6+7=16【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系2.（2022江西，12，3分）在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为________．【答案】2，2，－ 8\n【解析】∵PD＝2AP，∴设AP＝x，则PD＝2x，①当P在AD边上时，如解图①，∵AD＝6，∴AP＋PD＝6，∴x＋2x＝6即x＝2，∴AP＝2②当P在DC上时，如解图②在Rt△ADP中，AP＞PD，PD≠2AP，第12题解图①第12题解图②③当P在BC边上时，如解图③，DP最大为6，AP最小为6，PD≠2AP，④当P在AB上时，如解图④，在Rt△ADP中，AP2＋AD2＝PD2，∴x2＋62＝(2x)2，解得x1＝2，x2＝－2(舍)，∴AP＝2；第12题解图③第12题解图④第12题解图⑤第12题解图⑥⑤当P在AC对角线上时，如解图⑤，在Rt△ADC中，AC＝＝6，∴AO＝AC＝3，在Rt△PDO中，PO＝3－x，PD＝2x，DO＝AO＝3，∴PD2＝PO2＋DO2，(2x)2＝(3)2＋(3－x)2，解得x1＝－，x2＝－－(舍)，∴AP＝－；⑥当P在DB对角线上时，如解图⑥，在Rt△APO中，AP2＝AO2＋PO2，∴x2＝(2x－3)2＋(3)2，整理得：x2－4x＋12＝0，∴(－4)2－4×1×12＝－16＜0，∴方程无解，综上所述：AP＝2或2或－8\n【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理3.（2022浙江省台州市，16，5分）如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相交于点.若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为．【答案】【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明ΔBCE≌CDF，一是可以得到ΔBCG是直角三角形，二是可以得到ΔBCG的面积，进而求出；利用勾股定理可以求出，这样就可以求出，因而ΔBCG的周长就可以表示出来了.【解题过程】∵在正方形ABCD中，AB=3，∴，∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1:3，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°∵CE=DF,∴ΔBCE≌CDF(SAS)8\n∴∠CBE=∠DCF,∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°,即∠BGC=90°，ΔBCG是直角三角形易知，∴，∴，根据勾股定理：，即∴，∴，∴ΔBCG的周长=BG+CG+BC=【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答题1.（2022浙江杭州，21，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD。（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；（2）设BC=，AC=①线段AD的长度是方程的一个根吗？说明理由；②若AD=EC，求的值。8\n【思路分析】（1）先求∠B,再根据等腰三角形知识求∠BCD，在用直角求出∠ACD；（2）根据勾股定理表示出AB，表再示出AD，根据一元二次方程的解表示出的解进行对比；由AD=AE,则可得AD=，从而可列方程求解出比值【解题过程】【知识点】三角形内角和，等腰三角形角度计算，勾股定理，线段转换1.（2022湖北鄂州，20，8分）已知关于x的方程．（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；（2）若该方程的两实数根x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且，求k值及该菱形的面积．【思路分析】（1）只需证明根的判别式△≥0，即可证得无论k为何值，原方程都有实数根；（2）利用韦达定理求出k值，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半就能求出该菱形的面积．【解析】解：（1）证明：由题意可知，a＝1，b＝－（3k＋3），c＝，△＝b2－4ac＝，∵≥0，∴△≥0，∴无论k为何值，原方程都有实数根；（2）由根与系数的关系可知，，，化简得，，解得k＝2或－7，∵x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且x1＋x2＝3k＋3，∴3k＋3＞0，∴k＝－7舍去，k＝2，∴该菱形的面积为＝9．8\n【知识点】根与系数的关系；一元二次方程；根的判别式；菱形的性质；菱形的面积公式2.（2022湖北宜昌，21，8分）如图，在中，.以为直径的半圆交于点，交于点.延长至点，使,连接.(1)求证:四边形是菱形；(2)若，求半圆和菱形的面积.(第21题图)【思路分析】(1)先由，以及到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到，证明四边形是平行四边形；再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明平行四边形是菱形.(2)设，则，连接，在Rt△BDA中，,在Rt△BDA中，,∴,从而建立方程，求出x的值，并求出BD的值，求出半圆和菱形的面积.【解析】(1)证明：为半圆的直径，,,,又,8\n∴四边形是平行四边形.又,（或，）∴平行四边形是菱形.(2)解：连接，∵,设，则，(第21题第2问答图)∵为半圆的直径，,在Rt△BDA中，,在Rt△BDA中，,或（舍去）8\n,【知识点】平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圆的面积公式，菱形的面积公式.8
