一元二次方程一、选择题1.（2022四川泸州，9题，3分）已知关于x的一元一次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.【答案】C【解析】由题可知，△＞0，即(-2)2-4(k-1)＞0，解得k＜2【知识点】一元二次方程跟的判别式，解不等式2.（2022安徽省，7，4分）若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】将原方程变形为一般式，根据根的判别式△=0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．解：原方程可变形为x+（a+1）x=0．∵该方程有两个相等的实数根，19\n∴△=（a+1）﹣4×1×0=0，解得：a=﹣1．故选：A．【知识点】利用根的判别式确定二次方程解的情况3.（2022甘肃白银，7，3）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】:∵方程有两个实数根，∴，解得：。故选C【知识点】一元二次方程根的判别式。一元二次方程有两个不相等的实数根，则，一元二次方程有两个相等的实数根，则，一元二次方程没实数根，则。这里题干中说有两个实数根，则根的判别式应是大于或等于0.这是不少同学易错之处。4.（2022湖南岳阳，11，4分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．【答案】k＜1.【解析】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=22-4k＞0，解得k＜1.故答案为k＜1..【知识点】一元二次方程根的判别式的应用5.（2022山东潍坊，11，3分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根19\nx1，x2．若则m的值是（）A．2B．－1C．2或－1D．不存在【答案】A【思路分析】根据方程有两个不相等的实数根可知△＞0，从而求出m的取值范围，结合一元二次方程根与系数的关系代入求出m的值，再根据取值范围进行取舍即可.【解题过程】解：由题意得:,解得：m＞－1..解得：m1=2，m2=－1(舍去)所以m的值为2，故选择A.【知识点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系6.（2022江苏泰州，5，3分）已知、是关于的方程的两根，下列结论一定正确的是()A.B.C.D.，【答案】A【解析】∵△=，∴无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，根据“根与系数的关系”得，∴异号，故选A.【知识点】根的判别式，根与系数的关系7.（2022江苏省盐城市，8，3分）已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一根为1，则k的值为（）．A．－2B．2C．－4D．4【答案】B19\n【解析】把x＝1代入一元二次方程，得12＋k－3＝0，解得k＝2．故选B．【知识点】一元二次方程的根8.（2022山东临沂，4，3分）一元二次方程配方后可化为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由y2－y－=0得y2－y=，配方得y2－y＋=＋，∴(y－)2=1，故选B.【知识点】一元二次方程的解法配方法9.（2022四川省宜宾市，4，3分）一元二次方程x2–2x=0的两根分别为x1和x2,则为x1x2为（）A.-2B.1C.2D.0【答案】D【解析】根据根于系数的关系可知x1+x2==0，故选择D.【知识点】一元二次方程根于系数的关系1.(2022山东菏泽，5，3分)关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A．B．C．且D．且【答案】D【解析】△=b2－4ac=(－2)2－4(k+1)≥0，解得k≤0，又∵k+1≠0，即k≠－1，∴k≤0且k≠－1．故选D．【知识点】一元二次方程根的判别式2.（2022贵州遵义，9题，3分）已知x1,x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值为19\nA.4B.-4C.3D.-3【答案】A【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2=-b，x1x2=-3，又因为x1+x2-3x1x2=5，代入可得-b-3×(-3)=5，解得b=4，故选A【知识点】一元二次方程根与系数的关系3.（2022江苏淮安，7，3）若关于x的一元二次方程x2-2x-k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】分析：本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式为零，进而可得k的值.解：由一元二次方程x2-2x-k+1=0有两个相等的实数根所以根的判别式，解得：k=0故选：B．【知识点】一元二次方程；一元二次方程根的判别式4.（2022福建A卷，10，4）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是()A．1一定不是关于的方程的根B.0一定不是关于的方程的根C.1和-1都是关于的方程的根D.1和-1不都是关于的方程的根19\n【答案】D【解析】根据一元二次方程有两个相等的，方程根的判别式等于零，从而建立关于、的等式，再逐一判断根的情况即可.解：由关于的方程有两个相等的实数根，所以△=0，所以，，解得或，∴1是关于的方程的根，或-1是关于的方程的根；另一方面若1和-1都是关于的方程的根，则必有，解得，此时有，这与已知是关于的一元二次方程相矛盾，所以1和-1不都是关于的方程的根，故选D.【知识点】一元二次方程；根的判别式5.（2022福建B卷，10，4）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是()A．1一定不是关于的方程的根B.0一定不是关于的方程的根C.1和-1都是关于的方程的根D.1和-1不都是关于的方程的根【答案】D【解析】根据一元二次方程有两个相等的，方程根的判别式等于零，从而建立关于、的等式，再逐一判断根的情况即可.解：由关于的方程有两个相等的实数根，所以△=0，所以，，解得或，∴1是关于的方程的根，或-1是关于的方程的根；另一方面若1和-1都是关于的方程的根，则必有，解得，此时有，这与已知19\n是关于的一元二次方程相矛盾，所以1和-1不都是关于的方程的根，故选D.【知识点】一元二次方程；根的判别式6.（2022河南，7，3分）下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是（A）（B） （C） （D）【答案】B【解析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac;当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根.选项A：Δ=b2-4ac=62-4×1×9=0；选项B：先将原方程转化为一般式：x2-x=0，则Δ=b2-4ac=（-1）2-4×1×0=1>0；选项C：将原方程转化为一般式：x2-2x+3=0，则Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×3=-8<0；选项D：将原方程转化为一般式：x2-2x+2=0，则Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×2=-4<0.故选项B正确.【知识点】一元二次方程根的判别式7.（2022四川凉山州，7，4分）若n（n≠0）是关于x的方程的一个根，则m＋n的值是（）A.1B.2C.-1D.-2【答案】D【解析】∵n（n≠0）是关于x的方程的一个根，∴，∴，∵n≠0，∴，∴故选择D.【知识点】方程的根，因式分解.8.9.10.11.12.13.19\n14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.19\n39.二、填空题1.（2022四川泸州，题，3分）已知，是一元二次方程的两实数根，则的值是.【答案】6【解析】由韦达定理可得x1+x2=2，x1x2=-1，【知识点】韦达定理，分式加减2.（2022山东滨州，17，5分）若关于x，y的二元二次方程组的解是，则关于a，b的二元一次方程组的解是___________．【答案】【解析】根据题意，对比两个方程组得出方程组，所以．【知识点】整体思想，二元一次方程组加减消元法3.（2022四川内江，15，5）关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0有实数根，则k的取值范围是．【答案】k≥－419\n【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0有实数根，∴△＝b2－4ac＝42－4×1×(－k)≥0，解得k≥－4．【知识点】一元二次方程根的判别式4.（2022四川内江，22，6）已知关于x的方程＋bx＋1＝0的两根为＝1，＝2，则方程＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为．【答案】1【思路分析】将方程＋b（x＋1）＋1＝0中的（x＋1）换元成y，原方程化为ay2＋by＋1＝0，再由方程＋bx＋1＝0的两根为＝1，＝2，可知ay2＋by＋1＝0的两根也分别为1和2，将y换回(x＋1)就可以求出原方程的两个根，从而得出两根之和．【解题过程】解：令（x＋1）＝y，则原方程变形为ay2＋by＋1＝0，∵方程ax2＋bx＋1＝0的两根为＝1，＝2，∴＝1，＝2，即x＋1＝1，x＋1＝2，∴＝0，＝1，∴＋＝1．【知识点】一元二次方程根与系数关系5.（2022四川绵阳，17，3分）已知a＞b＞0，且，则=【答案】【解析】解：由题意得：2b(b-a)+a(b-a)+3ab=0，整理得：2()2+-1=0，解答=，∵a＞b＞0，19\n∴=故答案为【知识点】分式的加减法，解一元二次方程6.（2022山东聊城，13，3分）已知关于x的方程有两个相等的实根，则k的值是.【答案】【解析】∵关于x的方程有两个相等的实根，∴，解得.【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程根与系数的关系、一元一次方程的解法7.（2022四川省南充市，第14题，3分）若是关于的方程的根，则的值为．【答案】【解析】解：∵若是关于x的方程的根，∴，原方程整理得：，∴，∵n0，∴即，∴.故答案为：.【知识点】一元二次方程的概念；因式分解19\n8.（2022湖南长沙，17题，3分）已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为______。【答案】2【解析】该方程中，a=1，b=-3，设两根为x1,x2，其中x1=1,由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2==3,x1=1,所以x2=2【知识点】一元二次方程根与系数的关系9.（2022山东威海，14，3分）关于x的一元二次方程（m－5）x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是______．【答案】m＝4【解析】因为关于x的二元一次方程有实数根，所以△＝22－4(m－5)·2＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤5．5且m≠5，这样的最大整数解为4．【知识点】一元二次方程根的判别式、一元一次不等式的特殊解10.（2022山东烟台，17，3分）已知关于x的一元二次方程x2－4x+m－1=0的实数根，满足，则m的取值范围是.【答案】3＜m≤5【解析】∵是x2－4x+m－1=0的两根，∴，又∵，∴，∴∴．又∵△=b2－4ac=(－4)2－4(m－1)≥0，∴m≤5，∴3＜m≤5．【知识点】一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）；一元二次方程根的判别式.1.（2022湖南郴州，13，3）已知关于的一元二次方程有一个根为-3，则方程的另一个根为.【答案】2【解析】根据一元二次方程根与系数的关系可知两根之积为－6，根据一个根是-3，即可求出方程的另一根．设方程的另一根为x2，则-3x2=－6，解得：x2=2．【知识点】一元二次方程根与系数的关系19\n2.（2022湖南益阳，17，4分）规定，如：，若，则x=．【答案】－3或1【思路分析】根据规定的运算顺序，把化为熟悉的一元二次方程，然后再解方程即可．【解析】解：∵，∴，，解得：x1=－3，x2=1．【知识点】新定义型，一元二次方程3.（2022甘肃天水，T15，F4）关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根为0，则k的值是____.【答案】0.【解析】∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根为0，∴k2-k=0，且k-1≠0，解得k=1或k=0，且k≠1，则k=0.【知识点】一元二次方程的根及定义4.（2022江苏淮安，10，3）—元二次方程x2-x=0的根是.【答案】x1=0,x2=1【解析】分析：本题考查解一元二次方程，根据本题的特点，运用因式分解法较为简洁.解：x2-x=0x(x-1)=0.∴x=0或x=1故答案为x1=0,x2=1【知识点】解一元二次方程---因式分解法19\n5.（2022江西，11，3分）一元二次方程x2－4x＋2＝0的两根为x1，x2则x－4x1＋2x1x2的值为________．【答案】2【解析】∵x2－4x＋2＝0的两根为x1，x2，∴x－4x1＋2＝0，即x－4x1＝－2，x1x2＝2，∴x－4x1＋2x1x2＝－2＋2×2＝2【知识点】一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系6.（2022山东德州，14，4分）若是一元二次方程的两个实数根，则=．【答案】-3【解析】因为，，所以=-3.【知识点】一元二次方程根与系数的关系7.（2022湖北荆州，T16，F3）关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，且,则的值是．【答案】【思路分析】①利用根与系数的关系，表示出两根之和，两根之积.②利用完全平方公式求出两根之积.③代入到要求的式子中.【解析】由根与系数的关系可知：x1+x2=2k,x1x2=k2-k,∴，∴，把代入得，x1x2=，∴=.【知识点】根与系数的关系、完全平方公式、8.（2022湖南张家界，13，3分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则.【答案】19\n【解析】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴.解得k=.【知识点】根的判别式9.（2022湖北荆门，14，3分）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为．【答案】-3.【解析】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，∴4k+2(k2-2)+2k+4=0，∴2k2+6k=0，∴k=-3.故答案为-3.【知识点】一元二次方程的解，解一元二次方程10.（2022浙江省台州市，12，5分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．【答案】【解析】因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，解得【知识点】一元二次方程根的判别式19\n三、解答题1.（2022四川省成都市，16，6）若关于x的一元二次方程：－（2a＋1）x＋＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．【思路分析】利用根的判别式△＝，当△＞0时方程有两个不相等的实数根，代入得到关于a的不等式，解这个不等式便可求出a的取值范围．【解题过程】解：由题意可知，△＝－4×1×＝－4＝4a＋1．∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4a＋1＞0，解得a＞－．【知识点】一元二次方程；根的判别式；2.（2022浙江绍兴，17②，4分）（2）解方程：.【思路分析】直接利用一元二次方程的求根公式，把、、的值代入即可【解题过程】，，＞0∴，∴，.【知识点】一元二次方程的解法-公式法。19\n1.（2022内蒙古呼和浩特，23，10分）已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根、，请你用配方法探索有实数根的条件，并推到求根公式，证明。【思路分析】解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松.证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况。解决这三类问题，有一个通法，就是先算出判别式，然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理【解析】解：∵，把方程两边同时除以a，得：，配方，得：，∵，∴，当时，方程有两个实数根，，.∴=.【知识点】配方法解一元二次方程2.（2022四川遂宁，19，8分）已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两个实数根，满足，求a的取值范围.【思路分析】首先根据一元二次方程有两个实数根，可得出△=b2-4ac≥0，进而得出a的范围，然后根据根与系数的关系以及可得出a的范围，进而得出答案.【解析】解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴△=b2-4ac≥0，∴（-2）2-4×1×a≥0，19\n∴4-4a≥0，∴a≤1.又由根与系数的关系可得：=a，=2，且，∴a+2＞0，∴a＞-2，∴-2＜a≤1.【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程跟与系数的关系，解一元一次不等式3.（2022·北京，20，5）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0．（1）当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【思路分析】（1）先算出该方程的根的判别式△的值，再将b＝a＋2代入并判断判别式的符号，最后根据一元二次方程的根的判别式定理，就能判断该方程的根的情况了；（2）本题答案不唯一，只要取一组a，b的值，使方程的根的判别式的值为0即可，然后再解此方程即可．【解题过程】解：（1）∵b＝a＋2，∴△＝b2－4×a×1＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0．∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，如当a＝1，b＝2时，原方程为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1．【知识点】一元二次方程的解法；一元二次方程根的判别式4.（2022广西玉林，21题，6分）已知关于x的一元二次方程：x2-2x-k-2=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程。【思路分析】（1）因为原方程有两个不相等的实数根，所以△19\n>0，解得k>-3；（2）取k=-2，得到一元二次方程，解方程即可。【解题过程】（1）因为原方程有两个不相等的实数根，所以△>0，即4+4(k+2)>0，得k>-3；（2）取k=-2，原方程化为x2-2x=0，x(x-2)=0，所以x1=0，x2=2【知识点】根的判别式，一元二次方程19
