专题15锐角三角函数及应用学校：___________姓名：___________班级：___________一、选择题：（共4个小题）1．【2022乐山】如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D．【解析】【考点定位】1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．2．【2022绵阳】如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（ ）8\nA．（）米B．（）米C．（）米D．（）米【答案】D．【解析】【考点定位】解直角三角形的应用．3．【2022百色】有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（ ）海里．A．B．C．10D．【答案】D．8\n【解析】【考点定位】解直角三角形的应用-方向角问题．4．【2022日照】如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（ ）A．B．C．D．【答案】D．【解析】试题分析：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．故选D．【考点定位】1．解直角三角形；2．综合题．二、填空题：（共4个小题）5．【2022柳州】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB=．8\n【答案】．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，∴sinB==．故答案为：．【考点定位】1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．6．【2022桂林】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．【答案】．【解析】【考点定位】解直角三角形．7．【2022白银】已知α、β均为锐角，且满足，则α+β=．【答案】75°．【解析】试题分析：由已知得：sinα=，tanβ=1，∴α=30°，β=45°，则α+β=30°+45°=75°．故答案为：75°．【考点定位】1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：算术平方根．8．【2022绵阳】如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为．8\n【答案】．【解析】【考点定位】1．旋转的性质；2．等边三角形的性质；3．解直角三角形；4．综合题．三、解答题：（共2个小题）9．【2022攀枝花】如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．8\n【答案】（1）1；（2）v=20km/h，OE=60km或v=40km/h，OE=120km．【解析】（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．则OC=OB•cos30°=，CD=OC=，OD=OC•cos30°=90，∴DE=90﹣3v．∵CE=60，，∴，∴v=20或40，∴当v=20km/h时，OE=3×20=60km，当v=40km/h时，OE=3×40=120km．【考点定位】解直角三角形的应用-方向角问题．8\n10．【2022重庆市】某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1：1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）【答案】（1）20；（2）864．【解析】（2）过点D作DQ⊥AH于点Q．由题意得：tan∠DAB=4，tanH=，在直角△DAQ中，AQ===6（m），在直角△DHQ中，HQ===42（m）．故AH=HQ﹣AQ=42﹣6=36（m）．S△ADH=AH•DQ=432（m2）．故需要填筑的土石方是V=SL=432×100=43200（m3）．设原计划平均每天填筑xm3，则原计划天完成，则增加机械设备后，现在平均每天填筑2xm3．根据题意，得：，解得：x=864．经检验x=864是原方程的解．8\n答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．【考点定位】1．解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2．分式方程的应用；3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题；4．综合题．8
