第26讲圆的有关计算考纲要求命题趋势1．会计算圆的弧长和扇形的面积．2．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积．3．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算，会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考的热点，利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是中考考查的重点，常以选择题、填空题的形式出现.知识梳理一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝__________.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝__________或S＝lr；扇形的周长＝2r＋l.二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S侧＝l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.三、正多边形和圆1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于__________．温馨提示(1)正多边形的各边、各角都相等．(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．(4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．四、不规则图形面积的计算10\n求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．自主测试1．已知圆柱的底面半径为2cm，高为5cm，则圆柱的侧面积是( )A．20cm2B．20πcm2C．10πcm2D．5πcm22．如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是( )A．1B．C．D．3．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，则此扇形的半径是__________cm，面积是__________cm2.(结果保留π)4．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2.(1)求OE和CD的长；(2)求图中阴影部分的面积．考点一、弧长、扇形的面积【例1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为( )A．4cmB．8cmC．πcmD．πcm解析：点A所经过的最短路线是以点C为圆心、CA10\n为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．求解过程如下：∵∠B＝90°，∠A＝30°，A，C，B′三点在同一条直线上，∴∠ACA′＝120°.又AC＝4，∴的长l＝＝π(cm)．故选D.答案：D方法总结当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用S扇＝，当已知半径r和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇＝lr，当已知半径r和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l＝.触类旁通1如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为9，贴纸部分的宽BD为6，则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是( )A．24πB．36πC．48πD．72π考点二、圆柱和圆锥【例2】一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是( )A．5πB．4πC．3πD．2π解析：侧面积是：×π×22＝2π.底面的周长是2π.则底面圆半径是1，面积是π.则该圆锥的全面积是：2π＋π＝3π.故选C.答案：C方法总结圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键．触类旁通2如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是______cm.考点三、阴影面积的计算【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF，EO，若DE＝2，∠DPA＝45°.10\n(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)∵直径AB⊥DE，∴CE＝DE＝.∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE.又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°.在Rt△COE中，OE＝＝＝2.∴⊙O的半径为2.(2)连接OF，如图所示．在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，∴∠D＝90°－45°＝45°.∴∠EOF＝2∠D＝90°.∵S扇形OEF＝×π×22＝π，S△OEF＝×OE×OF＝×2×2＝2.∴S阴影＝S扇形OEF－S△OEF＝π－2.方法总结阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想：(1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．(2)将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．(3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．(4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．1．(2022浙江舟山)已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为( )10\nA．15πcm2B．30πcm2C．60πcm2D．3cm22．(2022浙江衢州)用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )A．cmB．3cmC．4cmD．4cm3．(2022四川南充)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )A．120°B．180°C．240°D．300°4．(2022山东临沂)如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分的面积之和为( )(第4题图)A．1B．C．D．25．(2022四川成都)一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为__________．(结果保留π)(第5题图)6．(2022湖南长沙)在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是__________cm.7．(2022四川乐山)如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G.10\n(第7题图)(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE:OF:OD＝2:3:6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)1．如图，⊙O半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧的长为( )A．B．C．D．2．已知圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为( )．A．48cm2B．48πcm2C．120πcm2D．60πcm23．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点且PC＝BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是( )A．cmB．5cmC．3cmD．7cm4．如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( )10\nA．6cmB．3cmC．8cmD．5cm5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A，B，C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________．6．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是__________cm2.(第6题图)7．如图，AB为半圆O的直径，C，D，E，F是的五等分点，P是AB上的任意一点．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为__________．(第7题图)8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝5，∠BOC＝50°，OE⊥AC，垂足为E.(1)求OE的长；(2)求劣弧AC的长(结果精确到0.1)．参考答案导学必备知识10\n自主测试1．B 2．C 3．24 240π4．解：(1)在△OCE中，∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，∴OE＝OC＝1，∴CE＝OC＝，∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2.(2)∵S△ABC＝AB·CE＝×4×＝2，∴S阴影＝π×22－2＝2π－2.探究考点方法触类旁通1．C S＝×2＝×2＝48π.触类旁通2．4 因为扇形的弧长为×2×12π＝8π，即底面周长为8π，则底面半径为＝4(cm)．品鉴经典考题1．B 因为底面半径为3cm，则周长为6πcm，所以圆锥的侧面积为6π×10÷2＝30π(cm2)．2．C 由题意知l＝＝4π(cm)，圆锥的底面半径为4π÷2π＝2(cm)，∴这个圆锥形纸帽的高为＝4(cm)．故选C.3．B 设圆锥的底面半径为r，母线为R，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n，则扇形的面积为×2πr×R＝πrR.由题意得πrR＝2πr2，nπR2÷360＝πrR，则R＝2r，所以n＝180°.4．C 如图，连接AE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.又∵∠BED＝120°，∴∠AED＝30°，∴∠AOD＝2∠AED＝60°.∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°.∵点E为BC的中点，∠AEC＝90°，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．由△AOD，△ABC是等边三角形知△DEC，△BOE，△DOE也是等边三角形，10\n∴和弦BE围成的部分的面积＝和弦DE围成的部分的面积，∴阴影部分的面积＝S△EDC＝×2×＝.故选C.5．68π 圆锥的母线长是＝5，圆锥的侧面积是×8π×5＝20π，圆柱的侧面积是8π×4＝32π，几何体的下底面面积是π×42＝16π，则该几何体的全面积(即表面积)为20π＋32π＋16π＝68π.故答案是68π.6．π 扇形的弧长l＝＝π(cm)．7．(1)证明：∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴∠EOF＝∠EDA，∠EFO＝∠EAD，∴△FOE∽△ADE，∴＝，即OF·DE＝OE·AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF·DE＝OE·2OH.(2)解：∵⊙O的半径为12，且OE:OF:OD＝2:3:6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，代入(1)结论得OH＝6，AD＝12.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO·sin60°＝12×＝6，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝－×6×6＝24π－18.研习预测试题1．B 2．D 3．B4．B 留下的扇形的弧长为×2×π×9＝12π，所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π.则底面圆的半径为12π＝2πr，所以r＝6.而圆锥的母线长为9，所以由勾股定理，得到圆锥的高为＝3(cm)．5．8－2π 6.2π 7．π8．解：(1)∵OE⊥AC，垂足为E，∴AE＝EC.∵AO＝BO，∴OE＝BC＝2.5.(2)∠A＝∠BOC＝25°，10\n在Rt△AOE中，sinA＝，∴OA＝.∵∠AOC＝180°－50°＝130°，∴劣弧AC的长＝≈13.4.10
