2013高考总复习江苏专用（理科）：第四篇三角函数、解三角形《第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·宿迁联考)已知tan＝，则tanα＝________.解析 tanα＝tan＝＝＝－.答案 －2．(2011·日照调研)已知cosα＝－且α∈，则tan＝________.解析 由条件得sinα＝，所以tanα＝－，tan＝＝.答案 3．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝________.解析 由cosαcosβ－sinαsinβ＝，cosαcosβ＋sinαsinβ＝，解得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，所以tanαtanβ＝.答案 4．若sinα＝，α∈，则cos＝________.7\n解析 因为α∈，sinα＝，所以cosα＝，所以cos＝－(cosα－sinα)＝－.答案 －5．已知向量a＝，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin＝________.解析 a·b＝4sin＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin－＝0，所以sin＝.所以sin＝－sin＝－.答案 －6．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为________．解析 tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝，所以tan(A＋B)＝＝，即＝.解得tanAtanB＝.答案 7．已知0＜α＜，＜β＜π，且cosα＝，sinβ＝，则β－α的值为________．解析 因为0＜α＜，＜β＜π，所以0＜β－α＜π，又cosα＝，sinβ＝，所以sinα＝，cosβ＝－，所以cos(β－α)＝，所以β－α＝.7\n答案 二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．解 ∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，∴0＜α＜，又∵tan2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tanβ＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.9．A，B，C是△ABC的内角，向量m＝，n＝满足|m＋n|＝.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝sinA，试判断△ABC的形状．解 (1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2＝3，所以cosA＝，又0＜A＜π，所以A＝.(2)因为sinB＋sinC＝sinA，所以sinB＋sin＝×，即sinB＋cosB＝，sin＝，又0＜B＜，所以B＋＝或，所以B＝或.7\n因此B＝时，C＝；B＝时，C＝.故△ABC为直角三角形．10．已知向量a＝(m，sin2x)，b＝(cos2x，n)，x∈R，f(x)＝a·b，若函数f(x)的图象经过点(0,1)和.(1)求m，n的值；(2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈上的最小值；(3)若f＝，α∈时，求tan的值．解 (1)f(x)＝mcos2x＋nsin2x，因为f(0)＝1，所以m＝1.又f＝1，所以n＝1.故m＝1，n＝1.(2)f(x)＝cos2x＋sin2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.因为x∈，所以2x＋∈，所以当x＝0或x＝时，f(x)取最小值1.(3)因为f＝，所以cosα＋sinα＝，即sin＝，又α∈，故α＋∈，所以cos＝，所以tan＝＝.B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·苏州调研)已知tanα＝，tanβ＝，且α，β∈(0，π)，则α＋2β＝________.解析 tan2β＝＝＝，所以tan(α＋2β)＝＝＝1.∵tanα＝＜1，α∈(0，π)，∴α∈，同理β∈，∴α＋2β∈7\n，所以α＋2β＝.答案 2．若sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为________．解析 由sinα－sinβ＝1－得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝1－＋＝－.①由cosα－cosβ＝得：cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝.②①＋②得1＋1－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2－，即2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝.答案 3．(2011·南京模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，若f＝，则f＝________.解析 因为2sin＝，所以sin＝，所以可取φ＝－，则f(x)＝2sin，f＝2sin＝2sin＝2sin＝2×＝.答案 4．(2011·南京学情分析)实数x，y满足tanx＝x，tany＝y，且|x|≠|y|，则－＝________.解析 因为tanx＝x，tany＝y，所以－＝－＝cosxcosy－cosxcosy＝0.答案 05．已知A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，则A＋B的值为________．7\n解析 A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，得cosA＝－＝－＝－，cosB＝－＝－＝－，所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－×－×＝，又因为＜A＜π，＜B＜π，所以π＜A＋B＜2π，故A＋B＝.答案 6．(2010·四川改编)已知cosα＝－，α∈，tanβ＝－，β∈，则cos(α＋β)＝________.解析 因为α∈，cosα＝－，所以sinα＝－.因为β∈，tanβ＝－，所以cosβ＝－，sinβ＝.故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.答案 二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(，)，若a·b＝，且＜x＜.(1)求cos和tan的值；(2)求的值．解 (1)因为a·b＝，所以cosx＋sinx＝，即cos＝.又＜x＜，所以0＜x－＜，7\n所以sin＝，tan＝.(2)因为sin2x＝cos＝2cos2－1＝，所以＝sin2x·tan＝－.8．在△ABC中，A、B、C为三个内角，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB.(1)若f(B)＝2，求角B；(2)若f(B)－m＞2恒成立，求实数m的取值范围．解 (1)f(B)＝4cosB×＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin.∵f(B)＝2，∴2sin＝2，∴2B＋＝.∵0＜B＜π，∴B＝.(2)f(B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立．∵0＜B＜π，∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m＜－2.∴m＜－4.7
