2013高考总复习江苏专用（理科）：第四篇三角函数、解三角形《第24讲 正弦定理和余弦定理》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.解析 由正弦定理，有＝，即sinB＝.又C为钝角，所以B必为锐角，所以B＝，所以A＝.故a＝b＝1.答案 12．在△ABC中，若B＝，b＝a，则C＝________.解析 由正弦定理及b＝a，得sinA＝＝＝，又A＜B＝，所以A＝，C＝π－－＝.答案 3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝bc＋a2，则角A的大小为________．解析 由余弦定理，得cosA＝＝，所以A＝.答案 4．已知△ABC中，AB＝2，C＝，则△ABC的周长为________(用含角A7\n的三角函数表示)．解析 由正弦定理，得△ABC的周长为a＋b＋c＝＋＋2＝sinA＋sin＋2＝2sinA＋2cosA＋2＝4sin＋2.答案 4sin＋25．(2011·四川卷改编)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是________．解析 由题意和正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，b2＋c2－a2≥bc，cosA＝≥，所以0＜A≤.答案 6．(2011·重庆卷改编)若△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．解析 由(a＋b)2－c2＝4及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos60°＝(a＋b)2－3ab，所以ab＝.答案 7．(2011·安徽卷)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．解析 不妨设A＝120°，c＜b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是由cos120°＝＝－，解得b＝10，S＝bcsin120°＝15.答案 15二、解答题(每小题15分，共45分)8．(2011·扬州调研)已知a＝，b＝(1，y)，且a∥b.设函数y＝f(x)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)若在锐角△ABC中，f＝，边BC＝，求△ABC周长的最大值．解 (1)因为a∥b，7\n所以y＝sinx＋cosx.所以f(x)＝2sin.(2)因为f＝2sin＝2sinA＝，所以sinA＝.因为A∈，所以A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，3＝(b＋c)2－3bc，3bc＝(b＋c)2－3≤3·，(b＋c)2≤12.所以b＋c≤2，a＋b＋c≤a＋2＝3.所以△ABC周长的最大值为3.9．(2011·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a.(1)求cosA的值；(2)cos的值．解 (1)由B＝C,2b＝a，可得c＝b＝a，所以cosA＝＝＝.(2)因为cosA＝，A∈(0，π)，所以sinA＝＝，cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinAcosA＝.所以cos＝cos2Acos－sin2Asin＝×－×＝－.10．(2011·湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cosC＝.7\n(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值．解 (1)因为c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4.所以c＝2.所以△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.(2)因为cosC＝，所以sinC＝＝＝.所以sinA＝＝＝.因为a＜c，所以A＜C，故A为锐角，所以cosA＝＝＝.所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝.B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·北京卷)在△ABC中，若b＝5，B＝，tanA＝2，则sinA＝________，a＝________.解析 ∵tanA＝2＞0，∴A为锐角，又＝2①，sin2A＋cos2A＝1②由①②得sinA＝.a＝＝＝＝2.答案 22．(2011·天津卷改编)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC7\n＝2BD，则sinC＝________.解析 设AB＝a，∴BD＝a，BC＝2BD＝a，cosA＝＝＝∴sinA＝＝由正弦定理知sinC＝·sinA＝×＝.答案 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A角大小为________．解析 由a2－b2＝bc，c＝2b，得a2＝7b2，所以cosA＝＝＝，所以A＝.答案 4．在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，该三角形的形状是________．解析 由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，所以2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB因为0＜A＜π，0＜B＜π，∴sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.故△ABC是等腰三角形或直角三角形．答案 等腰三角形或直角三角形5．△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC7\n的面积为，那么b＝________.解析 由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c.平方得a2＋c2＝4b2－2ac.又△ABC的面积为，且B＝30°，故由S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝ac＝，得ac＝6，所以a2＋c2＝4b2－12.由余弦定理cosB＝＝＝＝.解得b2＝4＋2.又因为b为边长，故b＝1＋.答案 1＋6．(2010·江苏)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝6cosC，则＋的值是________．解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为＋＝6cosC，由余弦定理得＝6·，即a2＋b2＝c2.而＋＝＝·＝＝＝＝4.答案 4二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·山东卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.(1)求的值；(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的长．解 (1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)，所以＝＝，即sinBcosA－2sinBcosC＝2sinCcosB7\n－sinAcosB，即有sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，即sinC＝2sinA，所以＝2.(2)由(1)知＝2，所以有＝2，即c＝2a，又因为△ABC的周长为5，所以b＝5－3a，由余弦定理及cosB＝得b2＝c2＋a2－2accosB，即(5－3a)2＝(2a)2＋a2－4a2×，解得a＝1，所以b＝2.8．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且cos〈，〉＝.(1)求sin2＋cos2A的值；(2)若a＝4，b＋c＝6，且b＜c,求a，c的值．解 (1)sin2＋cos2A＝[1－cos(B＋C)]＋(2cos2A－1)＝(1＋cosA)＋(2cos2A－1)＝＋＝－.(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，即16＝36－bc，∴bc＝8.由可求得7
