（江苏专用）2013高考数学总复习第四篇三角函数、解三角形《第25讲 正弦定理和余弦定理的应用》基础达标演练（含解析）理苏教版A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)________．答案 13.5km/h2．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析 如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．答案 103．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为________．解析 如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝32＋x2－2×3x×cos30°，即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，经检测均合题意．答案 或24．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB的长为________．9\n解析 在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝＝a.答案 a5．(2010·新课标全国卷)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________.解析 由A作垂线AH⊥BC于H.因为S△ADC＝DA·DC·sin60°＝×2×DC·＝3－，所以DC＝2(－1)，又因为AH⊥BC，∠ADH＝60°，所以DH＝ADcos60°＝1，∴HC＝2(－1)－DH＝2－3.又BD＝CD，∴BD＝－1，∴BH＝BD＋DH＝.又AH＝ADsin60°＝，所以在Rt△ABH中AH＝BH，∴∠BAH＝45°.又在Rt△AHC中tan∠HAC＝＝＝2－，所以∠HAC＝15°.又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，故所求角为60°.答案 60°6．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．9\n解析 在△BCD中，CD＝10(米)，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10(米)．在Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BCtan60°＝10(米)．答案 107．(2011·安徽三校联考)2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为10米，则旗杆的高度为________米．解析 由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得＝，解得AN＝20(米)，在Rt△AMN中，MN＝20sin60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案 30二、解答题(每小题15分，共45分)8．我国海军在东海举行大规模演习．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(－1)km的B处有一艘“敌舰”．在A处北偏西75°的方向，距离A2km的C处的“大连号”驱逐舰奉命以10km/h的速度追截“敌舰”．此时，“敌舰”正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？解 设“大连号”用th在D处追上“敌舰”，则有CD＝10t，BD＝10t，如图在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos120°＝6∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝.∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．9\n∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°.即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”．9．(2011·广州二测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解 (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以渔船甲的速度为＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝.即sinα＝＝＝.10．(★)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？9\n(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．思路分析 第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式；第(2)问建立速度与时间的函数关系式．解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝＝.故当t＝时，Smin＝10(海里)，此时v＝＝30(海里/时)．即，小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－＋，∵0＜v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.又t＝时，v＝30海里/时．故v＝30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．【点评】解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式，利用函数的有关知识解决问题，充分体现了函数与方程思想的重要性.B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．解析 如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，9\n∴AO＝(米)．答案 2．(2011·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)________．解析 AB＝1000×1000×＝(m)，∴BC＝·sin30°＝(m)．∴航线离山顶h＝×sin75°≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．答案 6.6km3．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析 由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴＝.∴x＝(m)．答案 m9\n4．(2011·合肥一检)如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________________时，该船没有触礁危险．I解析 由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝＞n，所以当α与β的关系满足mcosαcosβ＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案 mcosαcosβ＞nsin(α－β)5．某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看这宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100km/h，则宝塔到铁路线的垂直距离等于________km.解析 如图，∠BCA＝45°－30°＝15°，AB＝＝(km)，AC＝·sin∠ABC＝(＋1)(km)，所以宝塔到铁路线的垂直距离＝AC·sin30°＝(＋1)(km)．答案 (＋1)6．(2011·南通调研)已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是________．解析 如图，设AB＝AC＝2x，则在△ABD中，由余弦定理，得3＝x2＋4x2－4x2cosA，所以cosA＝.所以sinA＝＝，9\n所以S△ABC＝(2x)2sinA＝.故当x2＝时，(S△ABC)max＝＝＝2.答案 2二、解答题(每小题15分，共30分)7．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，接到信号后乙船朝北偏东θ方向沿直线前往B处救援，问θ的正弦值为多少？解 如题干图，在△ABC中，AB＝20海里，AC＝10海里，∠BAC＝120°，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝202＋102－2×20×10×＝700.∴BC＝10海里．由正弦定理＝，∴sin∠ACB＝·sin∠BAC＝·sin120°＝.∴sinθ＝sin(30°＋∠ACB)＝sin30°cos∠ACB＋cos30°·sin∠ACB＝∴乙船应沿北偏东sinθ＝的方向沿直线前往B处救援．8．(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？9\n解 由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△ADB中，由正弦定理得＝，所以DB＝＝＝＝10(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．所以救援船到达D点需要1小时．9
