2013高考总复习江苏专用（理科）：第四篇三角函数、解三角形《第23讲 三角恒等变换》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·龙岩质检)计算sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为________．解析 原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝.答案 2．sin415°－cos415°等于________．解析 sin415°－cos415°＝(sin215°＋cos215°)(sin215°－cos215°)＝－cos30°＝－.答案 －3．(2011·中山模拟)设sinα＝，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝________.解析 ∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－，∴tanα＝－.又∵tan(π－β)＝，∴tanβ＝－，∴tan2β＝＝－，∴tan(α－2β)＝＝＝.7\n答案 4．(2010·浙江)函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．解析 由f(x)＝sin－2sin2x＝sin2x－cos2x－2×＝sin2x＋cos2x－＝sin－，故最小正周期为π.答案 π5．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，则cos2β的值为________．解析 由已知得：cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.答案 －16．若tan＝2，则的值为________．解析 ∵tanθ＝＝＝－，∴＝＝＝＝＝－7.答案 －77．若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________.解析 ∵(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，∴1＋(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，即tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，7\n∴tan(α＋β)＝＝＝.又∵0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.答案 二、解答题(每小题15分，共45分)8．(2011·佛山质检)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos2α·cos2β.解 原式＝＋－cos2αcos2β＝－cos2αcos2β＝＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝.9．已知sincos＝－，求cos4x的值．解 sincos＝sincos＝－cos2＝－∴cos2＝.而cos2＝＝＝∴sin2x＝－，∴cos4x＝1－2sin22x＝.10．已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若x∈，求f(x)的最大值、最小值．解 (1)因为f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x7\n＝cos2x－sin2x＝cos.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π.当2x＋＝时，cos取得最大值；当2x＋＝π时，cos取得最小值－1.所以f(x)在上的最大值为1，最小值为－.B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知sinα－cosα＝sinαcosα，则sin2α的值为________．解析 将sinα－cosα＝sinαcosα平方得：1－2sinαcosα＝(sinαcosα)2即sin22α＋sin2α－1＝0解得：sin2α＝2－2.答案 2－22．在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为________．解析 由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A＝－2cos2A＋2cosA＋1.又0＜A＜，0＜cosA＜1.∴cosA＝时，有最大值.答案 7\n3．cos20°cos40°cos60°cos80°＝________.解析 ∵sin2α＝2sinαcosα，∴cosα＝，∴原式＝···＝＝.答案 4．已知sinθ－cosθ＝－，且0≤θ≤，则cos2θ＝________.解析 ∵sinθ－cosθ＝－，∴(sinθ－cosθ)2＝，∴sin2θ＝，又∵0≤θ≤，∴0≤2θ≤，∴cos2θ＝＝＝.答案 5．若α∈，化简＝________.答案 sin6．使方程2－sin2x＝m(2＋sin2x)有解的m的取值范围是________．解析 由已知2－sin2x＝m(2＋sin2x)得m＝＝－1＋.∵sin2x∈[－1,1]，∴2＋sin2x∈[1,3]，7\n∴∈，∴－1＋∈，∴m∈.答案 二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知函数f(x)＝2asinxcosx＋2bcos2x，且f(0)＝8，f＝12.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值．解 (1)f(x)＝asin2x＋bcos2x＋b.由f(0)＝8，f＝12可得a＝4，b＝4；(2)f(x)＝4sin2x＋4cos2x＋4＝8sin＋4.所以当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数f(x)取最大值为12.8．已知α，β∈，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．(1)求证：tanβ＝；(2)将tanβ表示成tanα的函数关系式；(3)求tanβ的最大值，并求当tanβ取得最大值时tan(α＋β)的值．(1)证明 由sinβ＝sinαcos(α＋β)＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴(1＋sin2α)sinβ＝sinαcosαcosβ∴tanβ＝.(2)解 tanβ＝＝＝.(3)解 tanβ＝＝，7\n∵α∈，∴＋2tanα≥2.∴tanβ≤＝，当且仅当＝2tanα时取“＝”号，∴tanα＝，此时tanβ取最大值，且tan(α＋β)＝＝.7
