2013高考总复习江苏专用（理科）：第四篇三角函数、解三角形《第20讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·苏州调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))的图象如图所示，则φ＝________.解析 T＝2×(7－3)＝8，所以＝8，ω＝，f(x)＝3sin.又由sin＝0，φ∈[0,2π)，得φ＝.答案 2．(2011·盐城调研)函数y＝cos－2·sin2x的最小正周期为________．解析 y＝cos－(1－cos2x)＝cos2xcos＋sin2xsin＋cos2x－＝sin2x＋cos2x－＝sin－，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.答案 π3．(2011·苏北四市调研)函数y＝sin＋cos的最大值为________．解析 法一 由题意可知y＝sin2xcos＋cos2xsin＋cos2xcos＋sin2xsin＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以最大值为2.8\n法二 y＝sin＋cos＝2sin，所以最大值为2.答案 24．(2011·泰州学情调查)要使sinα－cosα＝有意义，则应有________．解析 ＝sinα－cosα＝2sin∈[－2,2]，所以－2≤≤2，解得－1≤m≤.答案 5．(2011·镇江调研)函数f(x)＝sin＋2sinxcosx在区间上的最大值是________．解析 f(x)＝＋2sinxcosx＝sinx＋cosx＋2sinxcosx.设t＝sinx＋cosx，则t2＝1＋2sinxcosx，∴2sinxcosx＝t2－1，且由≤x≤，得t＝sin∈[1，]，所以y＝t＋t2－1＝t2＋t－1，当t＝时，ymax＝＋1.答案 ＋16．(2010·江苏)设定义在区间上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．解析 由消去y得6cosx＝5tanx.整理得6cos2x＝5sinx,6sin2x＋5sinx－6＝0，(3sinx－2)·(2sinx＋3)＝0，所以sinx＝或sinx＝－(舍去)．所以P1P2＝sinx＝.答案 7．给出下列命题：8\n①函数y＝cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x＝是函数y＝sin的一条对称轴；⑤函数y＝sin的图象关于点成中心对称图形．其中正确命题的序号为________．(填所有正确命题的序号)解析 ①y＝cos⇒y＝－sinx是奇函数；②由sinα＋cosα＝sin的最大值为，＜，所以不存在实数α，使得sinα＋cosα＝.③α＝60°，β＝390°，显然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tanα＝，tanβ＝tan390°＝，tanα＞tanβ，所以③不成立．④∵2×＋π＝＋π＝π，而sinπ＝－1，∴④成立．⑤∵sin＝sin＝1≠0，∴⑤不成立．答案 ①④二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，所以1＝2sin(ω·0＋φ)，即sinφ＝，因为|φ|＜，所以φ＝.8\n又因为π是函数的一个零点，且是图象上升穿过x轴形成的零点，所以ω＋＝2π，所以ω＝2.故f(x)＝2sin.(2)设2x＋＝B，则函数y＝2sinB的对称轴方程为B＝＋kπ，k∈Z，即2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解上式得x＝＋(k∈Z)，所以f(x)＝2sin的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．9．(2012·华东师大附中模拟)已知函数f(x)＝Asinωx＋Bcosωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π，又因为当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝2sin(k∈Z)．故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤，又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.10．(★)(2011·深圳一调)已知函数f(x)＝2·sincos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x8\n)在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f(x)＝sin＋sinx＝cosx＋sinx＝2＝2sin，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝f＝2sin＝2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2.当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1.【点评】解决三角函数的单调性及最值(值域)问题主要步骤有：,第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式.,第二步：根据sinx、cosx的单调性解决问题，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为不等式问题.,第三步：根据已知x的范围，确定“ωx＋φ”的范围.,第四步：确定最大值或最小值.,第五步：明确规范表述结论B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知．＝－＝，所以T＝π.因为T＝＝π，所以ω＝3.答案 32．(2011·连云港模拟)设函数y＝2sin的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈，则x0＝________.8\n解析 因为函数图象的对称中心是其与x轴的交点，所以y＝2sin＝0，x0∈，解得x0＝－.答案 －3．(2010·四川改编)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．解析 将函数y＝sinx的图象上所有点向右平移个单位得y＝sin，再把所得各点横坐标伸长到原来的2倍得y＝sin.答案 y＝sin4．(2010·福建)已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．解析 由f(x)与g(x)的图象对称轴完全相同知两函数的周期相同，∴ω＝2.所以f(x)＝3sin，当x∈时，2x－∈，f(x)的取值范围是.答案 5．(2011·南通调研)函数f(x)＝sinωx＋cosωx(x∈R)，又f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于，则正数ω的值为________．解析 f(x)＝2sin，由题意得f(x)的最小正周期T＝4×＝2π，所以＝2π，即ω＝1.答案 16．(2011·菏泽模拟)函数f(x)＝3sin的图象为C，下列结论：①图象C关于直线8\nx＝对称；②图象C关于点对称；③f(x)在区间上是增函数；④函数g(x)＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到f(x)的图象，其中正确的命题序号是________．解析 ①当x＝时，2x－＝2×－＝0，所以C关于点对称，所以①不正确．②当x＝－时，3sin＝3sin≠0，所以②不正确．③当x∈时，2x－∈，y＝f(x)在上单调增，所以③正确．④g＝3sin2＝3sin≠f(x)，所以④不正确，故正确的题号是③.答案 ③二、解答题(每小题15分，共30分)7．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一段图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝与函数y＝f(x)＋g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A＝2，T＝π，于是ω＝＝2，将y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，得y＝2sin(2x＋φ)的图象．于是φ＝2×＝，所以f(x)＝2sin.(2)依题意得g(x)＝2sin＝－2cos.故y＝f(x)＋g(x)＝2sin－2cos＝2sin.8\n由2sin＝，得sin＝.因为0＜x＜π，所以－＜2x－＜2π－.所以2x－＝或2x－＝，所以x＝π或x＝π，故所求交点坐标为或.8．(2011·南通调研)已知函数f(x)＝2cos.(1)设θ∈，且f(θ)＝＋1，求θ的值；(2)在△ABC中，AB＝1，f(C)＝＋1，且△ABC的面积为，求sinA＋sinB的值．解 (1)f(x)＝2cos2－2sincos＝(1＋cosx)－sinx＝2cos＋.由2cos＋＝＋1，得cos＝.于是θ＋＝2kπ±(k∈Z)．因为θ∈，所以θ＝－或.(2)因为C∈(0，π)，由(1)知C＝.因为△ABC的面积为，所以＝absin.于是ab＝2.①在△ABC中，设内角A，B的对边分别是a，b.由余弦定理，得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6.所以a2＋b2＝7.②由①②，可得 或于是a＋b＝2＋.由正弦定理，得＝＝＝.所以sinA＋sinB＝(a＋b)＝1＋.8
