课时知能训练一、选择题 1．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )A.B.C.D.【解析】 如图，要使S△PBC＞S△ABC，只需PB＞AB.故所求概率为P＝＝.【答案】 C2．(2012·梅州质检)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为( )A.B.C.D．π【解析】 满足|PA|＜1的点P位于以A为圆心，半径为1的圆在正方形ABCD内部(如图)，又S扇形ABD＝，∴P(|PA|＜1)＝＝.【答案】 C3．将一根长10cm的铁丝用剪刀剪成两段，然后再将每一段剪成等长的两段，并用这四段铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积大于6cm2的概率等于( )A.B.C.D.【解析】 如图，AB为长10cm的铁丝，剪断点为M，设AM＝x(0＜x＜10)，则矩形面积为·.5\n令·＞6，解得4＜x＜6.∴当铁丝AM的长在4cm到6cm之间时，四段铁丝围成矩形的面积大于6cm2.由几何概型所求概率P＝＝＝.【答案】 A4．已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP—ABC＜VS－ABC的概率是( )A.B.C.D.【解析】 当点P到底面ABC的距离小于时，VP—ABC＜VS－ABC.由几何概型知，所求概率为P＝1－()3＝.【答案】 A5．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是( )A.B.C.D.【解析】 设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件是由确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－×()2＝，所以两个数之和小于的概率是.【答案】 D二、填空题5\n6．点A为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．【解析】 试验的全部结果构成的区域长度为3，所求事件发生的区域长度为2，故所求的概率为P＝.【答案】 7．在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋m＋1＝0无实根}中随机的取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为________．【解析】 由Δ＝m2－4(m＋1)＜0，得－1＜m＜4.即A＝{m|－1＜m＜4}．由lgm有意义知m＞0，即使lgm有意义的范围是(0,4)故所求概率为P＝＝.【答案】 图10－6－28．(2012·湛江质检)从如图10－6－2所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．【解析】 根据题意得：S阴＝3x2dx＝x3＝1，且S矩形＝1×3＝3.则点M取自阴影部分的概率为＝＝.【答案】 三、解答题图10－6－35\n9．如图10－6－3所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．【解】 弦长不超过1，即|OQ|≥.又Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率，得P(A)＝＝.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.10．在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率．【解】 如图所示，不等式表示的平面区域是△ABC的内部及其边界，且S△ABC＝2.又圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到x＋y－＝0与x－y＋＝0的距离均为1，∴直线x＋y－＝0与x－y＋＝0均与单位圆x2＋y2＝1相切．记“点P落在x2＋y2＝1内”为事件A，∵事件A发生时，所含区域面积S＝π，故所求事件的概率P(A)＝＝.11．已知关于x的一次函数y＝mx＋n.(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件，求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．【解】 (1)抽取的全部结果的基本事件有(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件．设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以P(A)＝＝.(2)m、n满足条件的区域如图所示，5\n要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0.故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P＝＝.5
