课时知能训练一、选择题1．(2012·汕尾模拟)函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)【解析】 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数．A中，f(x)＝满足要求；B中f(x)＝(x－1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C中f(x)＝ex是增函数；D中f(x)＝ln(x＋1)是增函数．【答案】 A2．若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )A．(－1,0)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]【解析】 ∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，∴a≤1.①又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数．∴a＋1＞1，∴a＞0②由①、②知，0＜a≤1.【答案】 D3．定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )A．－1 B．1C．6 D．12【解析】 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.【答案】 C4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为( )A．[1,4]B．[2,3]C．[2,5]D．[3，＋∞)【解析】 ∵f(x)＝x2－2ax＋5的对称轴方程x＝a.又∵f(x)在(－∞，2]上是减函数，∴2≤a，又∵x1，x2∈[1，a＋1]，∴|f(x1)－f(x2)|≤{f(x1)，f(x2)}max－f(a)．又∵|f(x1)－f(x2)|≤4，∴即解得：－1≤a≤3.4\n综上可知：2≤a≤3.【答案】 B5．(2012·揭阳质检)已知f(x)＝是R上的增函数，那么a的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(1，]C．(1,2)D．[，2)【解析】 依题意解之得≤a＜2.【答案】 D二、填空题6．(2011·江苏高考)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．【解析】 f(x)的定义域(－，＋∞)，y＝log5u在(0，＋∞)上是增函数，且x＞－时，u＝2x＋1为增函数，函数f(x)的增区间是(－，＋∞)．【答案】 (－，＋∞)7．(2012·东莞模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．【解析】 依题意，h(x)＝当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.【答案】 18．(2011·北京高考)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．【解析】 当x≥2时，f(x)＝是减函数，0＜f(x)≤1，当x＜2时，f(x)＝(x－1)3是增函数，f(x)＜1.结合函数的图象知，f(x)＝k有两个不同的实根，则0＜k＜1.【答案】 (0,1)三、解答题9．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．4\n【解】 (1)证明 任设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)f(x)＝＝＝1＋，当a＞0时，f(x)在(a，＋∞)，(－∞，a)上是减函数，又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a≤1，故实数a的取值范围为(0,1]．10．若不等式a－＜2x在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【解】 不等式a－＜2x在[1，＋∞)上恒成立，得a－＜2x，即a＜2x＋恒成立．令g(x)＝2x＋，x∈[1，＋∞)，∵g′(x)＝2－＝，当x≥1时，g′(x)＞0，∴g(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数．因此g(x)min＝g(1)＝3.∴a＜3时，f(x)＜2x在x∈[1，＋∞)上恒成立．故实数a的取值范围是(－∞，3)．11．(2011·江西高考)设f(x)＝x3＋mx2＋nx.(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；(2)如果m＋n＜10(m，n∈N＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a)【解】 (1)易知f′(x)＝x2＋2mx＋n∴g(x)＝f′(x)－2x－3＝x2＋2(m－1)x＋n－3＝(x＋m－1)2＋n－3－(m－1)2，∵g(x)在x＝－2处取得最小值－5.所以，即m＝3，n＝2，故函数的解析式为f(x)＝x3＋3x2＋2x.(2)因为f′(x)＝x2＋2mx＋n，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f′(x)＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m2－4n＞0即m2＞n.不妨设为x1，x2，则|x2－x1|＝2为正整数．故m≥2时才可能有符合条件的m，n，当m＝2时，只有n＝3符合要求，4\n当m＝3时，只有n＝5符合要求，当m≥4时，没有符合要求的n.综上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5满足上述要求．4
