课时知能训练一、选择题1．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝( )A．45 B．55 C．70 D．80【解析】 ∵(1＋)5＝C()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29，由已知，得41＋29＝a＋b，∴a＋b＝41＋29＝70.【答案】 C2．(2011·天津高考)在(－)6的二项展开式中，x2的系数为( )A．－B.C．－D.【解析】 通项公式Tr＋1＝C()6－r(－)r＝(－1)rC·22r－6·x3－r令3－r＝2，得r＝1.∴T2＝－6×x2＝－x2.【答案】 C3．(2011·重庆高考)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( )A．6B．7C．8D．9【解析】 (1＋3x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5＝C35x5，展开式中含x6的项为C36x6.由两项的系数相等得C·35＝C·36，解得n＝7.【答案】 B4．在二项式(＋)n的展开式中，各项的系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项为( )A．6B．9C．12D．18【解析】 令x＝1得各项系数之和为4n，又各项的二项式系数之和为2n，依题意得4n＋2n＝72，解得n＝3.又Tr＋1＝C·()3－r·()r＝C·3r·x－r.令－r＝0，解得r＝1，所以常数项为C·31＝9.【答案】 B5．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于( )A．－180B．180C．45D．－45【解析】 由于(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，又[2－(1－x)]10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·210－r·[－(1－x)]r＝(－1)r·C·210－r·(1－x)r.3\n在展开式中a8是(1－x)8的系数，所以应取r＝8，∴a8＝(－1)8·C·22＝180.【答案】 B二、填空题6．(2011·广东高考)x(x－)7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)【解析】 x(x－)7的展开式的通项是Tr＋1＝xCx7－r(－)r＝C(－2)rx8－2r.令8－2r＝4，得r＝2，故x4的系数是C·4＝84.【答案】 847．(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．【解析】 (x－)6中Tr＋1＝Cx6－r·(－)r＝(－1)rCx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，T4＝C(－1)3＝－C，令6－2r＝－1，r＝(舍)，令6－2r＝－2，r＝4，T5＝C(－1)4x－2，∴(1＋x＋x2)(x－)6展开式中的常数项为1×(－C)＋C＝－20＋15＝－5.【答案】 －58．若(x3＋)n(n∈N*)的展开式中只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为________．【解析】 由已知得，二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等，故展开式中共有11项，从而n＝10.∴Tr＋1＝Cx3(10－r)()r＝Cx30－5r，令30－5r＝0得r＝6，则所求常数项为C＝210.【答案】 210三、解答题9．若(2＋x＋x2)(1－)3的展开式中的常数项为a，求(3x2－1)dx.【解】 ∵(1－)3＝1－＋－，∴(2＋x＋x2)(1－)3的展开式中的常数项a＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.因此(3x2－1)dx＝(x3－x)＝6.3\n10．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2.【解】 设f(x)＝(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243.(1)∵a5＝25＝32，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝f(1)－32＝－31.(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)＝f(1)×f(－1)＝－243.11．已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，求展开式中所有有理项．【解】 前三项系数的绝对值是1，C()，C()2，依题意，2C·＝1＋C()2，则n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，∴展开式的第r＋1项Tr＋1＝C()8－r()r＝(－)rC·x·x－＝(－1)r··x.若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数，∵0≤r≤8，r∈Z，∴r＝0,4,8，∴展开式中共有三个有理项则T1＝x4，T5＝(－1)4··x＝x，T9＝(－1)8·x＝x－2.3
