课时知能训练一、选择题1．(2012·深圳质检)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．3πa2 B．6πa2C．12πa2D．24πa2【解析】 ∵2R＝＝a，∴S球＝4πR2＝6πa2.【答案】 B图7－2－92．如图7－2－9所示，已知三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1—ABC1的体积为( )A.B.C.D.【解析】 在△ABC中，BC边长的高为，即棱锥A—BB1C1上的高为，又S△BB1C1＝，∴VB1—ABC1＝VA—BB1C1＝××＝.【答案】 A3．某几何体的三视图如图7－2－10所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )图7－2－10A.πB．π＋C.π＋D.π＋5\n【解析】 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，∴表面积S＝×2×＋×π×12＋×π×1×2＝＋.【答案】 C4．(2011·广东高考)如图7－2－11，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )图7－2－11A．4 B．4C．2 D．2【解析】 由三视图知，该几何体为四棱锥，如图所示．依题意AB＝2，菱形BCDE中BE＝EC＝2.∴BO＝＝，则AO＝＝3，因此VA—BCDE＝·AO·S四边形BCDE＝×3×＝2.【答案】 C5．一个几何体的三视图如图7－2－12所示，该几何体的表面积为( )5\n图7－2－12A．280 B．292 C．360 D．372【解析】 该几何体的直观图如图所示，将小长方体的上底面补到大长方体被遮住的部分，则所求的表面积为小长方体的侧面积加上大长方体的表面积，∴S＝S侧＋S表＝6×8×2＋2×8×2＋(2×8＋2×10＋8×10)×2＝360.【答案】 C二、填空题6．一个几何体的三视图如图7－2－13所示，则这个几何体的体积为________．图7－2－13【解析】 由三视图知，该几何体为底面为直角梯形的四棱柱，其高为1，又底面梯形的面积S＝＝3，∴V柱＝S·h＝3.【答案】 3图7－2－147．(2011·天津高考)一个几何体的三视图如图7－2－14所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.【解析】 由三视图知，几何体是由圆锥和长方体组成的简单组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为3；长方体的长、宽、高分别为3、2、1.5\n则V锥＝π×12×3＝π，V长方体＝3×2×1＝6，故所求几何体的体积为V＝6＋π.【答案】 6＋π图7－2－158．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图7－2－15所示)，则球的半径是________cm.【解析】 设球的半径为rcm，由等体积法得πr2·6r＝πr3×3＋8πr2，解得r＝4.【答案】 4三、解答题9．如图7－2－16所示，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，求这个球的表面积．图7－2－16【解】 设正四棱柱的底面边长为a，则V＝Sh＝a2h＝a2·4＝16，∴a＝2.由题意知：2R＝|A1C|，|A1C|＝2，∴R＝，S＝4πR2＝24π.10．(2011·陕西高考)如图7－2－17，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.图7－2－17(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；5\n(2)若BD＝1，求三棱锥D—ABC的表面积．【证明】 (1)∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.∵DB⊂平面BCD，DC⊂平面BCD.又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA.∵DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝，从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，S△ABC＝×××sin60°＝，∴三棱锥D—ABC的表面积S＝×3＋＝.11．如图7－2－18所示是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图．图7－2－18(1)若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；(2)求几何体BEC—APD的体积．【解】 (1)证明 由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB＝4，PA＝AD.∵PA＝AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA，CD⊥PA，DA⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，DA∩PA＝A，∴CD⊥平面APD又∵AF⊂平面APD，∴CD⊥AF.又∵PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD且PD∩DC＝D∴AF⊥面PCD.(2)VBEC—APD＝VC—APEB＋VP—ACD＝××(4＋2)×4×4＋××4×4×4＝.5
