课时知能训练一、选择题1．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c＝( )A．1 B．2 C．3 D．4【解析】 因为ξ～N(2,9)，正态密度曲线关于x＝2对称，又概率表示它与x轴所围成的面积．∴＝2，∴c＝2.【答案】 B2．(2012·阳江调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )A．100B．200C．300D．400【解析】 记不发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000,0.1)∴E(ξ)＝1000×0.1＝100.又X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.【答案】 B3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977【解析】 ∵μ＝0，则P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.【答案】 C4．一射手对靶射击，直到第一次命中停止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的期望值为( )A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4【解析】 X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为X3210P0.60.240.0960.064∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.【答案】 C5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是( )A．(0，)B．(，1)C．(0，)D．(，1)【解析】 X的可能取值为1,2,3，∵P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，∴E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，由E(X)＞1.75，即p2－3p＋3＞1.75，解之得p＜或p＞(舍)，4\n∴0＜P＜.【答案】 C二、填空题6．(2012·中山调研)已知X的分布列为X－101Pa设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．【解析】 由分布列的性质，a＝1－－＝，∴E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，因此E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝.【答案】 7．已知离散型随机变量X的分布列如下．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabc【解析】 由题知a＋b＋c＝，－a＋c＋＝0，12×a＋12×c＋22×＝1，解得a＝，b＝.【答案】 8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是________元．【解析】 由题意知，一年后获利6000元的概率为0.96，获利－25000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元)．【答案】 4760三、解答题9．(2011·安徽高考)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟．如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．(1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？4\n(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)EX.【解】 (1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1－p1)(1－p2)(1－p3)．所以任务能被完成的概率是1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)＝p1＋p2＋p3－p1p2－p2p3－p3p1＋p1p2p3.因此任务被完成的概率与派出的人的先后顺序无关．(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1，q2，q3时，随机变量X的分布列为X123Pq1(1－q1)q2(1－q1)(1－q2)所需派出的人员数目的均值(数学期望)是EX＝q1＋2(1－q1)q2＋3(1－q1)(1－q2)＝3－2q1－q2＋q1q210．(2012·湛江质检)如图10－9－1是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．图10－9－1(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．【解】 (1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.X的方差为D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.11．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、4\n；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0＜p＜1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资十万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．(1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)＜E(X2)时，求p的取值范围．【解】 (1)X1的概率分布列为X11.21.181.17PE(X1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.由题设得X～B(2，p)，即X的概率分布列为X012P(1－p)22p(1－p)p2故X2的概率分布列为X21.31.250.2P(1－p)22p(1－p)p2所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.(2)由E(X1)＜E(X2)，得－p2－0.1p＋1.3＞1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)＜0，解得－0.4＜p＜0.3.因为0＜p＜1，所以当E(X1)＜E(X2)时，p的取值范围是0＜p＜0.3.4
