课时知能训练一、选择题1．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是( )A．幂函数 B．对数函数C．指数函数D．余弦函数【解析】 由指数式的运算性质ax＋y＝ax·ay.【答案】 C2．(2011·山东高考)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为( )A．0B.C．1D.【解析】 由题意，3a＝9，则a＝2，∴tan＝tan＝.【答案】 D3．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，则( )A．f(－2)＞f(－1)B．f(－1)＞f(－2)C．f(1)＞f(2)D．f(－2)＞f(2)【解析】 由a－2＝4，a＞0，得a＝，∴f(x)＝()－|x|＝2|x|.又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|，即f(－2)＞f(－1)．【答案】 A4．(2012·惠州质检)函数y＝(0＜a＜1)的图象的大致形状是( )【解析】 y＝＝且0＜a＜1，∴x＞0时，函数是减函数；x＜0时，是增函数．【答案】 D5．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是( )A．－B．－4C.D．4【解析】 当x<0时，f(x)＝2x，∴f(－2)＝，4\n又f(x)是奇函数．∴f(－2)＝－f(2)＝，∴f(2)＝－.又g(2)＝f(2)，∴g(2)＝－.【答案】 A二、填空题6．已知函数f(x)＝ax＋a－x(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值是________．【解析】 ∵f(1)＝a＋＝3，f(0)＝2，f(2)＝a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝7，∴f(1)＋f(0)＋f(2)＝12.【答案】 127．设f(x)＝则f(x)≥的解集是_______．【解析】 当x＜0时，2x＋≥，x≥－，∴－≤x＜0.当x≥0时，2－x≥，即x≤1，∴0≤x≤1.因此f(x)≥的解集是[－，1]．【答案】 [－，1]8．(创新题)设函数f(x)＝－，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是________．【解析】 f(x)＝－＝1－－＝－∵t＝2x＋1在R上增，且2x＋1＞1，∴f(x)在R上是增函数，－＜f(x)＜，故y＝[f(x)]的值域是{0，－1}．【答案】 {－1,0}三、解答题9．函数y＝ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A.(1)写出定点A的坐标；(2)若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，求＋的最小值．【解】 (1)令x－1＝0，x＝1，此时y＝1，∴函数y＝ax－1的图象恒过定点A(1,1)．4\n(2)∵点A(1,1)在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，∴m＋n＝1，∴m＞0，n＞0.∴＋＝(＋)(m＋n)＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当＝，即m＝n＝时取“＝”．∴＋的最小值为4.10．已知函数f(x)＝2x－.(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．【解】 (1)当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－.由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±.∵2x＞0，∴x＝log2(1＋)．(2)当t∈[1,2]时，2t(22t－)＋m(2t－)≥0，∴m(22t－1)≥－(24t－1)．(*)∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．11．设函数f(x)＝.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若k＞0，求不等式f′(x)＋k(1－x)f(x)＞0的解集．【解】 (1)由f(x)＝，得f′(x)＝ex.令f′(x)＝0，得x＝1.因为当x＜0时，f′(x)＜0；当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，减区间是(－∞，0)、(0,1]．(2)由(1)知f′(x)＋k(1－x)f(x)＞0等价于＋k＞0⇔＞0.∴(x－1)(kx－1)＜0，且x≠0.故当0＜k＜1时，解集为{x|1＜x＜}；当k＝1时，解集为∅；4\n当k＞1时，不等式的解集为{x|＜x＜1}．4
