课时知能训练一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【解析】 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2.【答案】 D2．(2012·梅州调研)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(0，)【解析】 f′(x)＝3x2－6b，且f(x)在(0,1)内有极小值．∴f′(x)＝0在(0,1)内有解，易知b＞0且0＜＜1，解之得0＜b＜.【答案】 D3．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有( )A．f(x)≥f(a)B．f(x)≤f(a)C．f(x)＞f(a)D．f(x)＜f(a)【解析】 由(x－a)f′(x)≥0知，当x＞a时，f′(x)≥0；当x＜a时，f′(x)≤0.∴当x＝a时，函数f(x)取得最小值，则f(x)≥f(a)．【答案】 A4．(2011·浙江高考)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是( )【解析】 设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点．因此ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝＝1，D中图象一定不满足该条件．【答案】 D5．(2012·东莞调研)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝4\n在区间(1，＋∞)上一定( )A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数【解析】 由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a＜1，∴g(x)＝＝x＋－2a，则g′(x)＝1－.易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)＞0，所以g(x)为增函数．【答案】 D二、填空题6．已知f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．【解析】 f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x＞0恒成立，∴m≥－()2＋.令g(x)＝－()2＋＝－(－1)2＋1，当＝1，即x＝1时，g(x)有最大值1，故m≥1.【答案】 [1，＋∞)7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意即消去b，得a＝4或a＝－3.但当a＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在极值．∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.【答案】 188．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.【解析】 在定义域(0，)内，由f″(x)＝－sinx－cosx＜0，得①是凸函数；由f″(x)＝－＜0，得②是凸函数；由f″(x)＝－6x＜0，得③是凸函数；由f″(x)＝2ex＋xex＞0，得④不是凸函数．【答案】 ①②③三、解答题9．已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；4\n(2)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解】 (1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.(2)由已知f(x)在(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增可知，f(0)是f(x)的极小值．∴f′(0)＝e0－a＝0⇒a＝1，经检验，a＝1符合要求．∴存在a＝1满足条件．10．(2012·肇庆调研)已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．【解】 (1)f′(x)＝2ax＋，又f(x)在x＝1处有极值.∴即解之得a＝且b＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．11．设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．【解】 函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝－＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝，令f′(x)＞0，由于0＜x＜2，得2－x2＞0，∴0＜x＜，此时函数f(x)是增函数．4\n令f′(x)＜0，由0＜x＜2，得2－x2＜0，∴＜x＜2，此时，f(x)是减函数．故f(x)的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(，2)．(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a，∵a＞0.∴≥0，＋a＞0，f′(x)＞0.所以，f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.4
