课时知能训练一、选择题1．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于( )A．－1 B．1 C．－2 D．2【解析】 ∵函数周期T＝5，且为奇函数，∴f(1)＝f(1－5)＝f(－4)＝－f(4)＝1，∴f(4)＝－1.又∵f(2)＝f(2－5)＝f(－3)＝－f(3)＝2，∴f(3)＝－2，因此f(3)－f(4)＝－2－(－1)＝－1.【答案】 A2．(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )A．－3B．－1C．1D．3【解析】 当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝3，由f(x)在R上为奇函数，得f(1)＝－f(－1)＝－3.【答案】 A3．若函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝2，若f(0)＝2，则f(2012)＝( )A．2B．－2C．1D．2010【解析】 由f(x＋2)＝得f(x＋4)＝＝f(x)，∴f(x)的周期为4.∴f(2012)＝f(503×4＋0)＝f(0)＝2.【答案】 A4．(2012·广东六校联考)若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lgx)的解集是( )A．(0,10)B．(，10)C．(，＋∞)D．(0，)∪(10，＋∞)【解析】 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故|lgx|＞1，即lgx＞1或lgx＜－1，解得x＞10或0＜x＜.【答案】 D5．(2011·湖北高考)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝( )A．2B.C.D．a2【解析】 ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①3\n∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝.【答案】 B二、填空题6．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．【解析】 ∵f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，∴－(＋ae)＝e＋，化简变形得(1＋a)(e＋)＝0，因此1＋a＝0，∴a＝－1.【答案】 －17．(2011·广东高考)设函数f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________.【解析】 令g(x)＝f(x)－1＝x3cosx，则g(x)为奇函数，由f(a)＝g(a)＋1＝11，得g(a)＝10，g(－a)＝－10，又g(－a)＝f(－a)－1，故f(－a)＝g(－a)＋1＝－9.【答案】 －98．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．【解析】 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，则f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；在区间[－1,1]上，f(x)的最大值为f(1)＝f(－1)＝2，f(x)的最小值为f(0)＝1，故③错误．【答案】 ①②三、解答题9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x.试解关于a的不等式f(2－a2)＞f(a)．【解】 当x≥0时，f(x)＝x2＋2x是增函数．又f(x)是定义在R上的奇函数．∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解之得－2＜a＜1.∴不等式的解集为{a|－2＜a＜1}．10．定义在R上的函数f(x)，满足对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试求实数x的取值范围．【解】 (1)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0；令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．3\n(2)∵f(4)＝1，∴f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，∴原不等式化为f(x－1)＜f(8)．又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(0)＝0且f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．因此x－1＜8，∴x＜9.所以实数x的取值范围是(－∞，9)．11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝(0＜x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．【解】 (1)证明 由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－.x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.3
