【高考领航】2022高考数学总复习2-10函数模型及其应用练习苏教版【A组】一、填空题1．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，如果购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________．解析：设y＝ax＋b，则解得∴y＝－10x＋9000，由400＝－10x＋9000，得x＝860(元)．答案：8602．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：＝，即x＝(24－y)，∴阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)，∴当y＝12时，S有最大值为180.答案：1803．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：由题知第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令3n2≤150，得1≤n≤5⇒1≤n≤7，故生产期限最长为7年．9\n答案：74．某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不给予折扣；②如一次购物超过200元而不超过500元，按标准价给予九折优惠；③如一次购物超过500元，其中500元的部分给予九折优惠，超过500元的剩余部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元．如果他只去一次购买同样的商品，则他应该付款为________元．解析：设购物应付款x元，实际付款y元，则由题意知：y＝，那么该人两次实际购物应付款分别为x1＝176元，x2＝432÷0.9＝480元，则x1＋x2＝656元，如果他只去一次，则应该付款y＝0.85×656＋25＝582.6元．答案：582.65．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为xm，宽为m，则S＝x·＝(－x2＋200x)．当x＝100时，Smax＝2500m2.答案：2500m26．(2022·高考浙江卷)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值为________．解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份至十月份的销售总额是3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20.答案：207．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费9\n用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．解析：设购买n次，则n＝，总运费为万元，所以总费用＝＋4x≥160，当且仅当＝4x，即x＝20时，等号成立．答案：20二、解答题8．(2022·徐州第一次调研)如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2m，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．解：以A为坐标原点，直线AB、AD分别为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设边缘线OC的方程为y＝ax2＋1(0≤x≤2)，∵点C的坐标为(2,2)，∴22a＋1＝2，a＝，故边缘线OC的方程为y＝x2＋1(x≤0≤2)．要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与边缘线OC相切，设切点坐标为P(0＜t＜2)，∵y′＝x，∴直线EF的方程可表示为y－t2－1＝t(x－t)，即y＝tx－t2＋1.由此可求得E，F.∴|AF|＝1－t2，|BE|＝－t2＋t＋1，设梯形ABEF的面积为S(t)，则S(t)＝|AB|·(|AF|＋|BE|)＝＋＝－t2＋t＋2＝－(t－1)2＋≤.9\n∴当t＝1时，S(t)＝，故S(t)的最大值为2.5，此时|AF|＝0.75，|BE|＝1.75.所以，当AF＝0.75m，BE＝1.75m时，可使剩余的直角梯形面积最大，其最大值为2.5m2.9．(2022·高考山东卷)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解：(1)设容器的容积为V，由题意知：V＝πr2l＋πr3，又V＝，故l＝＝－r＝.由于l≥2r，因此0＜r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋，0＜r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝(r3－)，0＜r＜2.由于c＞3，所以c－2＞0，当r3－＝0时，r＝.9\n令＝m，则m＞0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0＜m＜2即c＜时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′＜0；当r∈(m,2)时，y′＞0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3＜c≤时，当r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r＝2；当c＞时，建造费用最小时r＝.【B组】一、填空题1．2022年12月30日到银行存入a元，若年利率为x，且按复利计算，到2022年12月30日可取回________．解析：1年后，可取回a(1＋x)元；2年后，可取回a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2元；…8年后，可取回a(1＋x)7(1＋x)＝a(1＋x)8元．答案：a(1＋x)8元2．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为________．解析：利润300万元，纳税300·p%万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1000×2%＝180(万元)，纳税180·p%万元，共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，9\np%＝＝25%.答案：25%3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________．解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．答案：184．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________．解析：设售价提高x元，则依题意y＝(1000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20000＝－5(x－90)2＋60500.故当x＝90时，ymax＝60500，此时售价为每件190元．答案：1905．(2022·扬州调研)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为________．解析：令a＝aent，即＝ent，因为＝e5n，故＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.答案：106．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王的存款到期利息为________元．解析：依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝ar＝78ar元．答案：78ar7．(2022·北京朝阳二模)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x9\n>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入一年总投资)．解析：本题考查了函数的实际应用．当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*)．当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润．答案：y＝(x∈N*)；16二、解答题8．(2022·江苏十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.(1)请分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用函数模型y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．解：(1)对于函数模型y＝f(x)＝＋2，当x∈[10,1000]时，f(x)为增函数，f(x)max＝f(1000)＝＋2＝＋2<9，所以f(x)≤9恒成立，但当x＝10时，f(10)＝＋2>，即f(x)≤不恒成立，故函数模型y＝＋2不符合公司要求．(2)对于函数模型y＝g(x)＝，即g(x)＝10－，当3a＋20>0，即a>－时递增，为使g(x)≤9对于x∈[10,1000]恒成立，即要g(1000)≤9,3a＋18≥1000，9\n即a≥，为使g(x)≤对于x∈[10,1000]恒成立，即要≤5，即x2－48x＋15a≥0恒成立，即(x－24)2＋15a－576≥0(x∈[10,1000])恒成立，又24∈[10,1000]，故只需15a－576≥0即可，所以a≥.综上，a≥，故最小的正整数a的值为39.9．(2022·广州二测)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元．(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：月份用水量(立方米)水费(元)一417二523三2.511试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．解：(1)依题意，得y＝其中0<a≤5.(2)∵0<a≤5，∴9<9＋a≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．9\n将和分别代入(**)得两式相减，得n＝6.代入17＝9＋n(4－m)＋a得a＝6m－16.又三月份用水量为2.5立方米，若m<2.5，将代入(**)，得a＝6m－13，这与a＝6m－16矛盾．∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量，将代入(*)得11＝9＋a.由解得所以，该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，m＝3，n＝6，a＝2.9
