2-1函数及其表示基础巩固强化1.a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f是M到N的映射，f(x)＝x，则a＋b的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．±1[答案] C[解析] ∵f(x)＝x，∴f(1)＝1＝a，若f()＝1，则有＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f()＝0，∴b＝0，∴a＋b＝1.2．(文)(2012·江西文，3)设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )A.B．3C.D.[答案] D[解析] 本题考查分段函数求值问题，由条件知f(3)＝，f(f(3))＝f()＝()2＋1＝.(理)已知函数f(x)＝则f(2014)等于( )A．－1B．1C．－3D．3[答案] C[解析] f(2014)＝f(2011)＝f(2008)＝……＝f(1)＝f(－2)＝2×(－2)＋1＝－3.3．若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝的定义域是( )A．[0,2]B．(0,2)C．(0,2]D．[0,2)[答案] C[解析] ∵∴0<x≤2，故选C.4．已知函数f(x)是奇函数，且定义域为R，若x>0时，f(x)＝x＋2，则函数f(x)的解析式为( )13\nA．f(x)＝x＋2B．f(x)＝|x|＋2C．f(x)＝D．f(x)＝[答案] D[解析] ∵f(x)为奇函数，且定义域为R，∴f(0)＝0.设x<0，则－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)＋2]＝x－2.5．(文)函数f(x)＝的值域是( )A．(－∞，－1)B．(－1,0)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案] D[解析] ＝2x－1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f(x)∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．(理)(2011·茂名一模)若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是( )A．[，3]B．[2，]C．[，]D．[3，][答案] B[解析] 令t＝f(x)，则≤t≤3，由函数g(t)＝t＋在区间[，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g()＝，g(1)＝2，g(3)＝，可得值域为[2，]，选B.6．若函数f(x)＝则函数y＝f(2－x)的图象可以是( )[答案] A[分析] 可依据y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，及y＝f(2－x)可由y＝13\nf(－x)的图象向右平移两个单位得到来求解，也可直接求出y＝f(2－x)的解析式取特值验证．[解析] 由函数y＝f(x)的图象关于y轴对称得到y＝f(－x)的图象，再把y＝f(－x)的图象向右平移2个单位得到y＝f(2－x)的图象，故选A.7．(文)函数y＝的定义域是________．[答案] (－∞，3][解析] 要使函数有意义，应有log2(4－x)≥0，∵4－x≥1，∴x≤3.(理)(2011·安徽文，13)函数y＝的定义域是________．[答案] (－3,2)[解析] 由6－x－x2>0，得x2＋x－6<0，即{x|－3<x<2}．8．(文)如果函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋…f(2012)＋f()＋f()＋…＋f()的值为________．[答案] 0[解析] 由于f(x)＋f()＝＋＝＋＝0，f(1)＝0，故该式值为0.(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a⊕b＝＋a＋b＋1，其中a、b是正实数，已知1⊕k＝4，则函数f(x)＝k⊕x的值域是________．[答案] (2，＋∞)[解析] 1⊕k＝＋k＋2＝4，解之得k＝1，∴f(x)＝＋x＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x>0，∴f(x)>2.9．(2011·洛阳模拟)已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a、b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．[答案] 5[解析] 由0≤－1≤1，即1≤≤2得0≤|x|≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．13\n[点评] 数对(a，b)的取值必须能够使得|x|的取值最小值为0，最大值为2，才能满足f(x)的值域为[0,1]的要求．10．(2012·北京海淀期中)某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元)与日产量x(单位：t)满足函数关系式C＝10000＋20x，每日的销售额R(单位：元)与日产量x的函数关系式为R＝已知每日的利润y＝R－C，且当x＝30时，y＝－100.(1)求a的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．[解析] (1)∵当x＝30时，y＝－100，∴－100＝－×303＋a×302＋270×30－10000，∴a＝3.(2)当0<x<120时，y＝－x3＋3x2＋270x－10000.令y′＝－x2＋6x＋270＝0，可得：x1＝90，x2＝－30(舍去)，所以当x∈(0,90)时，原函数是增函数，当x∈(90,120)时，原函数是减函数．∴当x＝90时，y取得极大值14300.当x≥120时，y＝10400－20x≤8000.所以当日产量为90t时，每日的利润可以达到最大值14300元.能力拓展提升11.(文)已知函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的值为( )A．1 B．2 C．4 D．4或1[答案] C[解析] ∵f(1)＝0，∴f(a)＝2，∴log2a＝2(a>0)或2a＝2(a≤0)，解得a＝4或a＝1(舍)，故选C.(理)函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为( )A．1B．1，－C．－D．1，[答案] B[解析] f(1)＝1，当a≥0时，f(a)＝ea－1，∴1＋ea－1＝2，13\n∴a＝1，当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)，∴1＋sin(πa2)＝2，∴πa2＝＋2kπ(k∈Z)，∵－1<a<0，∴a＝－，故选B.12．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(－∞，3)C．[，3)D．(1,3)[答案] D[解析] 解法1：由f(x)在R上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a>1，①又由f(x)在(－∞，1)上单增，∴3－a>0，∴a<3，②又由于f(x)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1]上的最大值3－5a要小于等于f(x)在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a≤0，即a≥，③由①②③可得1<a<3.解法2：令a分别等于、0、1，即可排除A、B、C，故选D.[点评] f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x1<1，x2≥1时，有f(x1)<f(x2)．13．(2012·丽水模拟)函数f(x)＝若f(x0)＝1，则x0的值为________．[答案] －1或1[解析] 当x0≤0时，f(x0)＝2－x0－1，∵f(x0)＝1，∴2－x0－1＝1，∴2－x0＝2，∴x0＝－1；当x0>0时，f(x0)＝x0，∵f(x0)＝1，∴x0＝1，∴x0＝1.综上可得x0的值为－1或1.14．(2013·四川省内江市第一次模拟)设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f(x)在R上有最小值；②当b>0时，函数在R上是单调增函数；13\n③函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；④当b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根的充要重要条件是b2>4|c|；⑤方程f(x)＝0可能有四个不同实数根．[答案] ②③④[解析] f(x)＝取b＝0知，①⑤错；容易判断②，③正确；b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根，等价于c－<0且c＋>0，∴b2>4c且b2>－4c，∴b2>4|c|，故填②、③、④.15．(文)函数f(x)＝x2＋x－.(1)若定义域为[0,3]，求f(x)的值域；(2)若f(x)的值域为[－，]，且定义域为[a，b]，求b－a的最大值．[解析] ∵f(x)＝(x＋)2－，∴对称轴为x＝－.(1)∵3≥x≥0>－，∴f(x)的值域为[f(0)，f(3)]，即[－，]；(2)∵x＝－时，f(x)＝－是f(x)的最小值，∴x＝－∈[a，b]，令x2＋x－＝，得x1＝－，x2＝，根据f(x)的图象知当a＝－，b＝时，b－a取最大值－(－)＝.13\n(理)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，∴解得∴f(x)＝x2＋x.(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝(x2－2)2＋(x2－2)＝(x4－3x2＋2)＝(x2－)2－，当x2＝时，y取最小值－.∴函数y＝f(x2－2)的值域为[－，＋∞)．16．(文)某地区预计2011年的前x个月内对某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系式是f(x)＝x(x＋1)(19－x)，x∈N*,1≤x≤12，求：(1)2011年的第x月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式．(2)求第几个月需求量g(x)最大．[解析] (1)第x月的需求量为g(x)＝f(x)－f(x－1)＝x(x＋1)(19－x)－(x13\n－1)x(20－x)＝x(13－x)．(2)g(x)＝(－x2＋13x)＝－[42.25－(x－6.5)2]，因此当x＝6或7时g(x)最大．第6、7月需求量最大．(理)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示：第t天5152030Q(件)35252010(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)13\n[解析] (1)P＝(2)图略，Q＝40－t(t∈N*)．(3)设日销售金额为y(元)，则y＝即y＝若0<t<25(t∈N*)，则当t＝10时，ymax＝900；若25≤t≤30(t∈N*)，则当t＝25时，ymax＝1125.由1125>900，知ymax＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．1．设a<b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是( )[答案] C[解析] x>b时，y>0，排除A、B；又x＝b是变号零点，x＝a是不变号零点，排除D，故选C.2．(2011·北京东城综合练习)已知函数f(x)＝g(x)＝log2x，则f(x)与g(x13\n)两函数图象的交点个数为( )A．4B．3C．2D．1[答案] C[解析] 如图，函数g(x)的图象与函数f(x)的图象交于两点，且均在函数y＝8x－8(x≤1)的图象上．故选C.3．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是( )A．(－∞，0)∪(10，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－1,10)D．(0,10)[答案] A[解析] 由条件知，或∴x0<0或x0>10.4．(2012·东北三校二模)函数y＝xln(－x)与y＝xlnx的图象关于( )A．直线y＝x对称B．x轴对称C．y轴对称D．原点对称[答案] D[解析] 若点(m，n)在函数y＝xlnx的图象上，则n＝mlnm，所以－n＝－mln[－(－m)]，可知点(－m，－n)在函数y＝xln(－x)的图象上，反之亦然，而点(m，n)与点(－m，－n)关于原点对称，所以函数y＝xlnx与y＝xln(－x)的图象关于原点对称，故选D.5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )13\n[答案] A[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点为a和b且a>b，由图象知0<a<1，b<－1，∴g(x)＝ax＋b单调减，且g(0)＝1＋b<0，故选A.6．函数f(x)＝|logx|的定义域是[a，b]，值域为[0,2]，对于区间[m，n]，称n－m为区间[m，n]的长度，则[a，b]长度的最小值为( )A.B．3C．4D.[答案] D[解析] 令f(x)＝0得，x＝1，令f(x)＝2得，logx＝±2，∴x＝或4，∴当a＝，b＝1时满足值域为[0,2]，故选D.7．如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )13\n[答案] B[解析] 解法1：取AA1、CC1的中点E、F，EF交BD1于O，则EF∥AC，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BDD1B1，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面BED1F⊥平面BDD1B1，过点P作MN∥EF，则MN⊥平面BDD1B1，13\nMN交BE、BF于M、N，则＝，∴MN＝·BP，不难看出当P在BO上时，y是x的一次增函数，当P在OD1上时，y是x的一次减函数，故选B.解法2：连接AC，A1C1，则MN∥AC∥A1C1，当且仅当P为BD1的中点Q时，MN＝AC取得最大值，故答案A，C错，又当P为BQ中点时，MN＝AC，故答案D错，所以选B.8．已知函数f(x)的值域为[0,4]，(x∈[－2,2])，函数g(x)＝ax－1，x∈[－2,2]，∀x1∈[－2,2]，总∃x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是______．[答案] ∪[解析] 只需要函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集即可．(1)当a>0时，g(x)＝ax－1单调递增，∵x∈[－2,2]，∴－2a－1≤g(x)≤2a－1，要使条件成立，只需，∴a≥.(2)当a<0时，g(x)＝ax－1单调递减．∵x∈[－2,2]，∴2a－1≤g(x)≤－2a－1，要使条件成立，只需，∴，∴a≤－.综上，a的取值范围是∪.9．(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2015)＝________.[答案] [解析] ∵f(x＋4)＝＝＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，所以f(2015)＝f(4×503＋3)＝f(3)＝＝.13
