考点8函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1.（2022·湖南高考理科·Ｔ10）已知函数的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是()A．B．C．D．【解题提示】利用存在性命题及函数图象的对称性，再构造新函数，利用函数图象平移求解。【解析】选B.解法一：由题可得存在满足,当取决于负无穷小时,趋近于,因为函数在定义域内是单调递增的,所以。解法二：由已知设，满足，即，构造函数，画出两个函数的图象，如图，当向右平移个单位，恰好过点时，得到，所以。2、（2022·上海高考文科·Ｔ18）-5-\n【解题提示】通过消元法解方程组，可得y的关系式，结合，可把y求出来，代入可得x的取值.【解析】3.（2022·山东高考理科·Ｔ8）已知函数，，若有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、【解题指南】本题考查了函数与方程，函数的图像，可先作出草图，再利用数形结合确定k的范围.【解析】选B.先作出函数的图像，由易知，函数的图像有两个公共点，由图像知当直线介于之间时，符合题意，故选B.二、填空题4.（2022·福建高考文科·Ｔ15）15．函数-5-\n的零点个数是_________【解题指南】分段函数分段处理．【解析】令，解得（舍）或；令，即，如图3，在的范围内两函数有一个交点，即原方程有一个根．综上函数共有两个零点．答案：２．5.（2022·辽宁高考理科·Ｔ1６）对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为【解析】令，则，代入整理得，由于存在，所以方程有解，即，整理得从而的最大值为，此时方程有相等实根，解得．从而，所以答案：【误区警示】抓住“取得最大值”这一关键，寻求取得最值时间的关系，减少变量个数，防止由于多个变量纠缠不清6.（2022·辽宁高考理科·Ｔ1６）对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为【解析】令，则，代入整理得-5-\n，由于存在，所以方程有解，即，整理得从而的最大值为，此时方程有相等实根，解得．从而，所以答案：【误区警示】抓住“取得最大值”这一关键，寻求取得最值时间的关系，减少变量个数，防止由于多个变量纠缠不清三、解答题7.（2022·辽宁高考理科·Ｔ21）（本小题满分12分）已知函数，.证明：（Ⅰ）存在唯一，使；（Ⅱ）存在唯一，使，且对（1）中的，有.【解析】证明：（Ⅰ）当时，函数在上为减函数，，所以存在唯一，使；（Ⅱ）考察函数令，则时，.-5-\n记.则由（Ⅰ）当时，；当时，；可见在上，为增函数，而，因此当时，，所以在上无零点.在上，为减函数，而，，则存在唯一的使得所以存在唯一的使得因此存在唯一的，使得当时，，则与有相同的零点，所以存在惟一的，使.因为，，所以-5-
