第四单元曲线运动万有引力与航天§2抛体运动ααβv0v0vyv一．知识点1．平抛运动（定义、条件、性质、方法、规律）（1）时间（2）位移（水平射程，竖直高度——可拓展到偏移量）（3）速度（大小与方向）（4）变量（相同时间内的△v的大小与方向）（5）推论（tanα=2tanβ，瞬时速度反向延长线过此刻水平位移的中点）2．类平抛运动（定义、性质、方法、规律）（与平抛运动类似）3．斜抛运动（高考只作定性要求，但培优班要适当超越）vxvyv（1）水平方向以v0cosθ做匀速直线运动；（2）竖直方向先做上抛运动，再做自由落体运动；（3）时间：；（4）射程：（45度仰角时，射程最大）（5）高程：H=（6）对称性：上下时间相等，左右速度对称，轨迹对称，初末速度关于竖直轴对称……（7）逆向性：一是运动可逆，二是可看成两个平抛二．典例解析1．平抛运动（1）基本规律【例1】从某高度水平抛出一小球，经过t时间到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ．不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是A．小球初速度大小为gttanθB．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长C．小球着地速度大小为D．小球的速度增量为gt，方向竖直向下E．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为变式：（2012年新课标）如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则abcxyOA．a的飞行时间比b的长B．b和c的飞行时间相同C．a的水平速度比b的小15\nD．b的初速度比c的大15\n（2）斜面上的平抛【例2】（2010全国理综1）一水平抛出的小球落到一倾角为q的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为A．tanqB．2tanqC．D．本题中若已知初速度v0夹角q，则小球在空中运动的时间是多少？变式1：（2008全国理综卷1第14题）如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足A．tanφ=sinθB．tanφ=cosθC．tanφ=tanθD．tanφ=2tanθOabcv0变式2：（2012年上海卷）12．如图所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点。若小球初速变为v，其落点位于c，则A．v0＜v＜2v0B．v＝2v0C．2v0＜v＜3v0D．v＞3v0ABv0OP变式3：如图所示，小球从斜面底端O点的正上方P以初速度v0平抛，落点在斜面上的A点，已知OA=AB，若将平抛初速度增大为2v0，则落点A．在B点B．在B点上方C．在AB间D．在OA间oABvAvB变式4：（岳阳市一中2014届第二次质检）如图所示，两个挨得很近的小球，从斜面上的同一位置O以不同的初速度vA、vB做平抛运动，斜面足够长，在斜面上的落点分别为A、B，空中运动的时间分别为tA、tB，碰撞斜面前瞬间的速度与斜面的夹角分别为a、β，已知OB＝2OA。则有A．vA:vB=1:2B．tA:tB=1:2C．a>βD．B 球离斜面最远的位置在A点的正上方15\n（3）与地形有关的平抛问题【例3】如图所示，一个小球从高h=10m处以水平速度v0=10m/s抛出，撞在倾角θ=45°的斜面上的P点，已知AC=5m，求：（1）P、C之间的距离；（2）小球撞击P点时速度的大小和方向。变式1：（2011年海南卷）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点。已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。变式2：(2012全国物理)一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。 (1)求此人落到坡面时的动能； (2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？ 15\n（4）临界与多解（范围问题，球过网问题，台阶问题等）【例4】如图所示，AB为斜面，BC为水平面，从A点以水平速度v0抛出一小球，此时落点到A的水平距离为x1；从A点以水平速度3v0抛出小球，这次落点到A点的水平距离为x2，不计空气阻力，则x1：x2可能等于A．1：3B．1：6 C．1：9D．1：12变式：排球场总长18m，网高2.25m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3m线正上方被我方运动员后排强攻击回．假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动．（g取10m/s2）（1）若击球的高度h=2.5m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？（2）若运动员仍从3m线处起跳，起跳高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界，试求h满足的条件．（5）相遇问题ABhlv【例5】（2012年江苏卷）如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h(l,h均为定值）。将A向B水平抛出的同时，B自由下落．A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰C．A、B不可能运动到最高处相碰D．A、B一定能相碰变式：如图所示，我某集团军在一次空地联合军事演习中，离地面H高处的飞机以水平对地速度v1发射一颗炸弹欲轰炸地面目标，地面拦截系统同时以初速度v2竖直向上发射一颗炮弹拦截（炮弹运动过程看作竖直上抛），设此时拦截系统与飞机的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足A．v1=B．v1=v2C．v1=D．v1=v215\n（6）多次问题【例5】如图所示，M和N是两块相互平行的光滑竖直弹性板。两板之间的距离为L，高度为H。现从M板的顶端O以垂直板面的水平速度v0抛出一个小球。小球在飞行中与M板和N板，分别在A点和B点相碰，并最终在两板间的中点C处落地。求：(1)小球抛出的速度v0与L和H之间满足的关系；(2)OA、AB、BC在竖直方向上距离之比。变式：如图，子弹从O点水平射出，初速度为v0，穿过两块竖直放置的薄挡板A和B，留下弹孔C和D，测量C和D的高度差为0.1m，两板间距4m，A板离O点的水平距离为14m，不计挡板和空气的阻力，求v0的大小．（7）实验问题【例6】一位同学做平抛实验时，只在纸上记下重垂线у方向，未在纸上记下斜槽末端位置，并只描出如图所示的一段平抛轨迹曲线。现在曲线上取A、B两点，用刻度尺分别量出到у的距离，AA′＝x1，BB′＝x2，以及AB的竖直距离h，从而可求出小球抛出的初速度V0为 A．B．C．D．变式：利用频闪照相技术探究平抛运动规律时，将自由落体运动与平抛运动类比得出运动规律与结论。两小球运动的频闪照片如图。拍摄时，光源的频闪频率为10Hz，a球从A点水平抛出的同时，b球从B点开始下落，背景的坐标纸小方格为相同的正方形。重力加速度g取10m/s2，不计阻力。根据照片显示的信息可求，a球沿水平方向的运动初速度为m/s，运动过程中a球与b球之间的距离最小为m。15\n2．类平抛运动电场中的类平抛暂不涉及）【例7】 如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下面说法中正确的是 A．小球的运动轨迹为抛物线B．小球的加速度为gtanθC．小球到达B点的是间为D．小球到达B点的水平方向位移为变式：如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同水平速度v0沿x轴正方向被抛出，A在竖直平面内运动，落地点P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计空气阻力，则A．A、B运动时间相同B．A沿x轴方向的位移比B沿x轴方向的位移小C．A比B先落地D．落地时动能相同3．斜抛运动【例8】 如图所示，枪口A瞄准悬挂于高处B处的一只玩具熊，当子弹以初速v0射出时，B处的玩具同时自由落下。试问：（1）子弹能否射中玩具熊？（2）射中与否跟初速度v0、抛射角θ及射程是否有关？变式：一个喷水池的喷头以相同的速率喷出大量水射流，这些水射流与地面成0°~90°的所有角度喷出，竖直射流可高达2.0m，如图所示。取g=10m/s2，试计算水射流在水池中落点所覆盖的圆的半径。15\n典例解析参考答案例1：D变式：B、D例2：D（本题速度夹角已知。水平速度与竖直速度之比是不是tanθ？）变式1：D（本题位移夹角已知，本题中增大平抛初速度，会不会改变接触时速度与斜面的夹角？）变式2：A变式3：C变式4：D【例3】（1）；（2），垂直斜面撞击。变式1：【解析】设圆半径为r，质点做平抛运动，则：①②过c点做cd⊥ab与d点，Rt△acd∽Rt△cbd可得即为：③由①②③得：变式2：【参考答案】（1）；（2），【例4】ABC变式：（1）；（2）h=2.4m【例5】AD变式：C【例5】 (1)(2)hOA∶hAB∶hBC＝(1＋3)∶(5＋7)∶9＝4∶12∶9变式：80m/s【例6】B变式：10.1【例7】ABC变式：BCD【例8】 (1)能；（2）只要射程足够远，也就是子弹轨迹（抛物线）与玩具熊轨迹（竖直线）在空中有交点，就能射中。变式：4.0m15\n三．对应练习1．（2012年上海卷）以初速为v0，射程为S的平抛运动轨迹制成一光滑轨道。一物体由静止开始从轨道顶端滑下，当其到达轨道底部时，物体的速率为，其水平方向的速度大小为。2．ρAv0αρP图（a）图（b）（2011年安徽卷）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度υ0抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是A．B．C．D．hθA3．（2013年上海卷）19．如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出A．轰炸机的飞行高度B．轰炸机的飞行速度C．炸弹的飞行时间D．炸弹投出时的动能4．水平抛出的小球，t秒末的速度方向与水平方向的夹角为θ1，t+t0秒末速度方向与水平方向的夹角为θ2，忽略空气阻力，则小球初速度的大小为 A．gt0（cosθ1-cosθ2）B．C．gt0（tanθ1-tanθ2）D．5．在水平地面上M点的正上方某一高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在M点右方地面上N点处，将S2球以初速度v2斜向左上方抛出，两球恰在M、N连线的中点正上方相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中A．初速度大小关系为v1=v2B．速度变化量相等C．水平位移相等D．都不是匀变速运动6．如图所示,A、B两球之间用长6m的柔软细线相连,将两球相隔0.8s先后从同一高度同一点均以4.5m/s的初速度水平抛出,则A球抛出后多长时间,A、B两球间的连线可拉直.（g=10m/s2）15\nA．1sB．2sC．3sD．4s15\n7．如图所示，M和N是两块相互平行的光滑竖直弹性板，两板之间的距离为L，高度为H。现从M板的顶端O以垂直板面的水平速度v0抛出一个小球。小球在飞行中与M板和N板分别在A点和B点相碰（假设碰撞时无能量损失），并最终在两板间的中点C处落地。求：OA、AB、BC在竖直方向上的距离之比A．3∶12∶4B．4∶12∶9C．4∶3∶9D．4∶12∶38．如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽。从高台边B点以速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左端A沿圆弧切线方向进入轨道。O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角．则A．cotθ1tanθ2＝2 B．tanθ1tanθ2＝2C．cotθ1cotθ2＝2 D．tanθ1cotθ2＝29．如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab =bc =cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的A．b与c之间某一点 B．c点C．c与d之间某一点 D．d点10．（2011年广东卷）如图6所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上。已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是A．球的速度v等于B．球从击出到落地的时间为C．球从击出点到落地点的位移等于LD．球从击出点到落地点的位移与球的质量有关11．如图所示，一架在2000m高空以200m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别炸山脚与山顶的目标A和B，已知山高720m，山脚与山顶的水平距离为1000m，若不计空气阻力，g取10m/s2，则投弹的时间间隔应为A．4sB．5sC．9sD．16s15\n12．如图所示，一网球运动员将球在边界处正上方水平向右击出，球刚过网落在图中位置(不计空气阻力)，相关数据如图，下列说法中正确的是（AD）A．击球点高度h1与球网的高度h2之间的关系为h1=1．8h2，B．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，一定落在对方界内C．任意降低击球高度(仍高于h2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内D．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内13．（2012安徽蚌埠联考）如图所示，电动玩具小车A从倾角θ=45°的斜面底端以速度沿斜面向上做匀速运动，同时在斜面底端正上方处，将小球B以初速度v2水平抛出，它们在斜面上恰好相碰（g取10m/s2）．求：⑴v2的大小．⑵从两物开始运动到相碰所用的时间t．14．（2011年江苏卷）如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置。将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M=km的小物块相连，小物块悬挂于管口。现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变。(重力加速度为g)(1)求小物块下落过程中的加速度大小；(2)求小球从管口抛出时的速度大小；(3)试证明小球平抛运动的水平位移总小于15\n15．（2010年北京卷）如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角＝37°，运动员的质量m＝50kg。不计空气阻力。（取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80;g取10m/s2）求（1）A点与O点的距离L;（2）运动员离开O点时的速度大小;（3）运动员落到A点时的动能。16．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1，水平发出，落在球台的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1。．(2)若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2(如图虚线所示)，求v2的大小．(3)若球在O正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3，求发球点距O点的高度h3．对应练习参考答案1．2．C【解析】物体在其轨迹最高点P处只有水平速度，其水平速度大小为v0cosα，根据牛顿第二定律得，所以在其轨迹最高点P处的曲率半径是，C正确。3．ABC4．D5．B6．A7．B8．D9．A10．【答案】AB【解析】15\n球做平抛运动，平抛运动是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动，球的初速度，A正确。球从击出到落地的时间，B正确。球从击球点至落地点的位移等于，与球的质量无关，选项C、D错误。11．C12．AD13．1m/s1s14．(1)(2)(k>2)(3)见解析解析：(1)设细线中的张力为T，根据牛顿第二定律且解得：(2)设M落地时的速度大小为v，m射出管口时速度大小为v0，M落地后m的加速度为a0。根据牛顿第二定律匀变速直线运动解得：(k>2)(3)平抛运动解得因为，所以，得证。联立⑦⑧⑨⑩式，代入数据解得15．（1）75m（2）20m/s（3）32500J【解析】（1）运动员在竖直方向做自由落体运动，有A点与O点的距离（2）设运动员离开O点的速度为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即解得：15\n（3）由机械能守恒，取A点为重力势能零点，运动员落到A点时的动能为16．四．好题收集（请同学们把自己遇到的与这一节内容相关的经典好题整理收集于此栏）15
