专题检测（一）集合、常用逻辑用语一、选择题1.(2019·沈阳市质量监测一)设命题p：∀x0∈R，x－x0＋1＞0，则綈p为( )A.∃x∈R，x2－x＋1＞0 B.∀x∈R，x2－x＋1≤0C.∃x∈R，x2－x＋1≤0D.∀x∈R，x2－x＋1＜0解析：选C 已知原命题p：∀x0∈R，x－x0＋1＞0，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定命题的结论，故原命题的否定綈p为∃x∈R，x2－x＋1≤0.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩(∁UA)＝( )A.{1，6}B.{1，7}C.{6，7}D.{1，6，7}解析：选C ∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，∴∁UA＝{1，6，7}.又B＝{2，3，6，7}，∴B∩(∁UA)＝{6，7}.故选C.3.命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A.若x2≥1，则x≥1或x≤－1B.若－1<x<1，则x2<1C.若x>1或x<－1，则x2>1D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D 命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”.故选D.4.(2019·三湘名校联考)若全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x－6＜0}，B＝{x|2x＜1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x|2＜x＜3}B.{x|－1＜x≤0}C.{x|0≤x＜6}D.{x|x＜－1}解析：选C 由x2－5x－6＜0，解得－1＜x＜6，所以A＝{x|－1＜x＜6}.由2x＜1，解得x＜0，所以B＝{x|x＜0}.又题图中阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A，∁UB＝{x|x≥0}，所以(∁UB)∩A＝{x|0≤x＜6}，故选C.5.(2019·北京高考)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件\nC.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C ∵f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，∴2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立.反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数.充分性成立.∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充要条件.故选C.6.已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.7.设全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x＋2)(x－1)<0}，则( )A.A∩B＝∅B.A∪B＝UC.∁UB⊆AD.∁UA⊆B解析：选A 由(x＋2)(x－1)<0，解得－2<x<1，所以B＝{x|－2<x<1}，则A∩B＝∅，A∪B＝{x|x>－2}，∁UB＝{x|x≥1或x≤－2}，A⊆∁UB，∁UA＝{x|x<1}，B⊆∁UA，故选A.8.(2019·江西八所重点中学联考)已知集合M＝{y|y＝|x|－x}，N＝{x|y＝ln(x2－x)}，则M∩N＝( )A.RB.{x|x＞1}C.{x|x＜0}D.{x|x≥1或x＜0}解析：选B ∵y＝|x|－x＝∴y≥0，∴M＝{y|y≥0}.∵x2－x＞0，∴x＜0或x＞1，∴N＝{x|x＜0或x＞1}，∴M∩N＝{x|x＞1}，故选B.9.已知p：∀x∈R，mx2－2mx＋1＞0，q：指数函数f(x)＝mx(m＞0，且m≠1)为减函数，则p是q的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B 当m＝0时，1＞0成立；当m≠0时，可得解得0＜m＜1.\n由p得出P＝{m|0≤m＜1}，由q得出Q＝{m|0＜m＜1}，QP，故p是q的必要而不充分条件.10.(2019·合肥市第一次质检)已知函数f(x)＝|x|(ex－e－x)，对于实数a，b，“a＋b＞0”是“f(a)＋f(b)＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C f(x)＝|x|(ex－e－x)为奇函数，且在R上单调递增.若a＋b＞0，即a＞－b，则f(a)＞f(－b)＝－f(b)，即f(a)＋f(b)＞0；若f(a)＋f(b)＞0，则f(a)＞－f(b)＝f(－b)，根据函数f(x)的单调性知a＞－b，即a＋b＞0.所以“a＋b＞0”是“f(a)＋f(b)＞0”的充要条件，故选C.11.若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A.15B.16C.28D.25解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1，1，3和，2和这“四大”元素所能组成的集合.所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.12.下列说法正确的个数是( )①“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题；②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；③“∃x0∈R，x－x0<0”的否定是“∀x∈R，x2－x＞0”；④“a＋1＞b”是“a＞b”的一个必要不充分条件.A.0B.1C.2D.3解析：选C 对于①，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故①不正确；对于②，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故②正确；对于③，“∃x0∈R，x－x0＜0”的否定是“∀x∈R，x2－x≥0”，故③不正确；对于④，由a＞b可推出a＋1＞b，但由a＋1＞b不能推出a＞b，故④正确.故选C.二、填空题13.(2019·沈阳市质量监测一)已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为________.解析：由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，于是∁U(A∪B)＝{7}.\n答案：{7}14.设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则綈p：_______________.解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点.答案：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点15.设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝，P＝{(x，y)|y≠x＋1}，则∁U(M∪P)＝________.解析：集合M＝{(x，y)|y＝x＋1，且x≠2，y≠3}，所以M∪P＝{(x，y)|x∈R，y∈R，且x≠2，y≠3}.则∁U(M∪P)＝{(2，3)}.答案：{(2，3)}16.若x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.解析：∵x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，∴(－1，4)⊆(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.答案：[－1，1]
