第十章 圆锥曲线与方程第四讲 圆锥曲线的综合问题1.[2021洛阳市统考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,其左、右焦点分别是F1,F2,如图10-4-1,过F1的直线AB与椭圆相交于A,B两点,且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=x+t与椭圆相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求t的取值范围.图10-4-12.[2021四省八校联考]已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,直线l与C交于A,B两点,与C的准线交于点M.(1)若直线l经过点F,且|AB|=4,求直线l的方程.(2)设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=-2.①证明:直线l经过定点,并求出定点的坐标.②求MA·MB的最小值.3.[2020全国卷Ⅱ,19,12分][理]已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率;第10页共10页\n(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.4.[2020贵阳市高三摸底测试]已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F1(-3,0),且椭圆C经过点P(3,12).(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C与y轴的正半轴交于点D,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点(l不经过点D),且AD⊥BD,证明:直线l经过定点,并求出该定点的坐标.5.[2021安徽省四校联考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,上顶点为M,右焦点为F,坐标原点O到直线MF的距离为223.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l为抛物线y2=-36x的准线,A,B分别为椭圆的左、右顶点,P为直线l上的任意一点(P不在x轴上),PA交椭圆C于另一点S,PB交椭圆C于另一点T,求证:S,F,T三点共线.6.[2021八省市新高考适应性考试]双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.(1)求C的离心率;(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.7.[2020大同市高三调研]已知半圆x2+y2=4(y≥0),动圆与此半圆相切(内切或外切,如图10-4-2),且与x轴相切.第10页共10页\n(1)求动圆圆心的轨迹方程,并画出其轨迹.(2)是否存在斜率为13的直线l,它与(1)中所得的轨迹由左至右顺次交于A,B,C,D四点,且满足|AD|=2|BC|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.图10-4-28.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是椭圆上任意一点,且△MF1F2的周长为4+22,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l是圆O:x2+y2=43在动点P(x0,y0)(x0·y0≠0)处的切线,l与椭圆C交于不同的两点Q,R,证明:∠QOR的大小为定值.9.[2020湖南长郡中学第三次适应性考试][新角度题]已知抛物线G:y2=2px(p>0),其焦点为F,过点F的直线l交抛物线G于A,B两点,交抛物线G的准线于点C.当点F恰好是线段AC的中点时,|BC|=83.(1)求抛物线G的方程;(2)点O是坐标原点,设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,直线l的纵截距为1,此时数列{an}满足a1=1,k1+k2=-16an+1+(4an+2)2.设数列{an1+an}的前n项和为Sn,已知存在正整数m,使得m<S2020<m+1,求m的值.第10页共10页\n10.[2020湖南岳阳4月联考][数学文化题]定义椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的“蒙日圆”方程为x2+y2=a2+b2.已知抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴端点重合,且椭圆C的离心率为63.(1)求椭圆C的方程和“蒙日圆”E的方程.(2)过“蒙日圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点,延长PA与“蒙日圆”E交于点Q,O为坐标原点.①证明:PA⊥PB;②若直线OP,OQ的斜率kOP,kOQ存在,试判断kOP·kOQ是否为定值.若是,求出该值;若不是,请说明理由.答案第四讲 圆锥曲线的综合问题1.(1)由椭圆的定义知4a=8,∴a=2.∵椭圆的离心率e=ca=12,∴c=1,从而b2=a2-c2=3,∴椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).由y=x+t,3x2+4y2-12=0,得7x2+8tx+4t2-12=0,则Δ=64t2-28(4t2-12)>0,第10页共10页\n解得t2<7 ①.x1+x2=-8t7,x1x2=4t2-127.∵坐标原点O位于以MN为直径的圆外,∴OM·ON>0,即x1x2+y1y2>0,x1x2+y1y2=x1x2+(x1+t)(x2+t)=2x1x2+t(x1+x2)+t2=7t2-247>0,解得t2>247 ②,由①②可知247<t2<7,解得-7<t<-2427或2427<t<7.∴t的取值范围是(-7,-2427)∪(2427,7).2.设直线l与C的交点A(x1,y1),B(x2,y2).(1)易知点F的坐标为(12,0),直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+12,联立x=my+12,y2=2x,消去x,得y2-2my-1=0,∴y1+y2=2m.∴|AB|=x1+x2+1=m(y1+y2)+2=2m2+2=4,解得m=±1.∴直线l的方程为x=±y+12,即y=x-12或y=-x+12.(2)①设直线l的方程为x=my+n,代入抛物线方程化简得y2-2my-2n=0,∴y1+y2=2m,y1y2=-2n.∵k1=y1x1,k2=y2x2,k1·k2=y1y2x1x2=y1y2y12y224=4y1y2=-2n=-2,∴n=1,∴直线l经过定点,且定点坐标为(1,0).②由①知,直线l的方程为x=my+1.由x=-12,x=my+1,得M(-12,-32m).又y1+y2=2m,y1y2=-2,∴x1+x2=2m2+2,x1x2=1.∴MA=(x1+12,y1+32m),MB=(x2+12,y2+32m),∴MA·MB=(x1+12)(x2+12)+(y1+32m)(y2+32m)=x1x2+12(x1+x2)+14+y1y2+32m(y1+y2)+(32m)2=m2+94m2+134≥2m2·94m2+134=254,当且仅当m2=94m2,即m=±62时,取等号,∴当m=±62时,MA·MB取得最小值254.3.(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2-b2.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2-2(ca)2.解得ca=-2(舍去)或ca=12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.第10页共10页\n设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1 ①.由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.4.(1)由题意,设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距为2c,另一个焦点为F2,则c=3,F2(3,0).在Rt△PF2F1中,|PF1|=|F1F2|2+|PF2|2=72.由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=72+12=4,则a=2,b=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)由(1)得D(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+m,x24+y2=1,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,易知Δ>0,则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+4k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=m2-4k21+4k2.由AD⊥BD得DA·DB=x1x2+(y1-1)(y2-1)=0,即5m2-2m-31+4k2=0,所以5m2-2m-3=0,解得m=1或m=-35.当m=1时,直线l经过点D,舍去.当m=-35时,直线l的方程为y=kx-35,所以直线l经过定点,且该定点的坐标为(0,-35).5.(1)设F(c,0),根据离心率的定义和面积相等可得ca=13,bca=223,a2=b2+c2,解得a=3,b=22,因此所求的椭圆C的方程为x29+y28=1.(2)显然A(-3,0),B(3,0),直线l的方程为x=9.设P的坐标为(9,m)(m≠0),则直线PA的方程为y=m12(x+3),把它代入椭圆C的方程中,消去y得(128+m2)x2+6m2x+9m2-9×128=0.第10页共10页\n根据一元二次方程根与系数的关系知-3xS=9m2-9×128128+m2,因此S(384-3m2128+m2,64m128+m2).同理,得T(3m2-9632+m2,-32m32+m2).由于F(1,0),所以当m≠±8时,kSF=16m64-m2,kFT=16m64-m2,因此kSF=kFT.当m=±8时,易知S,F,T三点共线.所以S,F,T三点共线.6.由题意知,点B(c,a+c)在双曲线C上,则c2a2-(a+c)2b2=1,c2a2-a+cc-a=1,e2-1+ee-1=1,(e+1)(e-1-1e-1)=0,e=2.(2)由(1)知ca=2,c=2a,则b2=c2-a2=3a2,双曲线C的方程为x2a2-y23a2=1,A(-a,0),F(2a,0).①当BF⊥AF时,|AF|=|BF|,则∠BAF=π4,∠BFA=π2,显然∠BFA=2∠BAF.②当BF与AF不垂直时,设B(x0,y0),x0>a,y0>0,则3x02-y02=3a2,tan∠BAF=kAB=y0x0+a,tan∠BFA=-kBF=-y0x0-2a.tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF=2y0x0+a1-y02(x0+a)2=2y0(x0+a)(x0+a)2-y02=2y0(x0+a)(x0+a)2-(3x02-3a2)=-y0x0-2a=tan∠BFA.因为双曲线C的渐近线为y=±3x,所以0<∠BAF<π3,0<∠BFA<π,所以∠BFA=2∠BAF.综上可知,∠BFA=2∠BAF.7.(1)设动圆圆心M(x,y),作MN⊥x轴于点N.①若动圆与半圆外切,则|MO|=2+|MN|,∴x2+y2=y+2,两边平方得x2+y2=y2+4y+4,化简得y=14x2-1(y>0).②若动圆与半圆内切,则|MO|=2-|MN|,∴x2+y2=2-y,两边平方得x2+y2=4-4y+y2,化简得y=-14x2+1(y>0).综上,当动圆与半圆外切时,动圆圆心的轨迹方程为y=14x2-1(y>0);当动圆与半圆内切时,动圆圆心的轨迹方程为y=-14x2+1(y>0).动圆圆心的轨迹如图D10-4-1所示.第10页共10页\n图D10-4-1(2)假设满足题意的直线l存在,可设l的方程为y=13x+b.依题意,可得直线l与曲线y=14x2-1(y>0)交于A,D两点,与曲线y=-14x2+1(y>0)交于B,C两点.由y=13x+b,y=14x2-1与y=13x+b,y=-14x2+1,消去y整理可得3x2-4x-12b-12=0 ①与3x2+4x+12b-12=0 ②.设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),则xA+xD=43,xAxD=-12b-123,xB+xC=-43,xBxC=12b-123.又|AD|=1+(13)2|xA-xD|,|BC|=1+(13)2|xB-xC|,且|AD|=2|BC|,∴|xA-xD|=2|xB-xC|,即(xA+xD)2-4xAxD=4[(xB+xC)2-4xBxC],整理得(43)2+4(12b+12)3=4[(-43)2-4(12b-12)3],解得b=23.将b=23代入方程①,得xA=-2,xD=103.∵函数y=14x2-1(y>0)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),∴假设不成立,即不存在满足题意的直线l.8.(1)因为以坐标原点O为圆心,椭圆C的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点,所以b=c,可得a=2c.因为△MF1F2的周长为4+22,所以a+c=2+2,所以c=2,a=2,b=2,所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,设Q(x1,y1),R(x2,y2),直线l的方程为y=kx+m.因为l为圆O的切线,所以|m|1+k2=233,即3m2=4+4k2 ①.将y=kx+m与椭圆方程联立,消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,易知Δ>0,所以x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-42k2+1,x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=3m2-4k2-42k2+1 ②.由①②得x1x2+y1y2=0,所以OQ⊥OR,∠QOR=π2,即∠QOR的大小为定值.9.(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0),准线方程为x=-p2.第10页共10页\n依题意知过F的直线l的斜率存在且不为0,故可设其方程为x=ty+p2(t≠0),由x=ty+p2,y2=2px,消去x并整理,得y2-2pty-p2=0,易知Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1y2=-p2.由点F是线段AC的中点,且C(-p2,-pt),得-p2+x12=p2,-pt+y12=0,解得x1=3p2,y1=pt,即A(3p2,pt).由y1y2=-p2,可得y2=-p2pt=-pt,则x2=t(-pt)+p2=-pt2+p2,即B(-pt2+p2,-pt).把点B的坐标代入抛物线方程,可得(-pt)2=2p(-pt2+p2),可得t=±33.不妨令t=-33,则B(p6,33p),C(-p2,3p).由|BC|=(p6+p2)2+(33p-3p)2=43p=83,可得p=2,所以抛物线G的方程为y2=4x.(2)依题意可知直线l过点F(1,0)和(0,1),可得直线l的方程为y=-x+1,由y=-x+1,y2=4x消去x并整理,得y2+4y-4=0,则y1+y2=-4,y1y2=-4.所以k1+k2=y1x1+y2x2=4y1+4y2=4×y1+y2y1y2=4,则-16an+1+(4an+2)2=4,即an+1=an2+an=an(an+1),由此可得1an+1=1an(an+1)=1an-1an+1,所以an1+an=1-1an+1=1-(1an-1an+1).则S2020=2020-[(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+(1a2020-1a2021)]=2020-(1a1-1a2021)=2020-1+1a2021=2019+1a2021.由m<S2020<m+1,得m<2019+1a2021<m+1,而a1=1,an+1=an(an+1)>1,可得m=2019,所以正整数m的值为2019.10.(1)抛物线x2=4y的焦点为(0,1),由其与椭圆C的一个短轴端点重合,可得b=1.由椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=63,得a2=3.所以椭圆C的方程为x23+y2=1,“蒙日圆”E的方程为x2+y2=4.第10页共10页\n(2)①当PA和PB中有一条与x轴平行时,易知另一条与x轴垂直,显然PA⊥PB.当PA和PB均不与x轴平行且不与x轴垂直时,设过点P的椭圆C的斜率存在且不为零的切线的方程为y=kx+m(k≠0),设P(x0,y0),x0≠±3,由直线y=kx+m(k≠0)过点P,得m=y0-kx0,且x02+y02=4.由y=kx+m,x23+y2=1,消去y并整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,则Δ=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-3)=0,即m2=3k2+1.将m=y0-kx0代入上式得关于k的方程(x02-3)k2-2x0y0k+y02-1=0.则kPA·kPB=y02-1x02-3,又x02+y02=4,所以kPA·kPB=-1,即PA⊥PB.综上,PA⊥PB.②当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=k1x+m1,由y=k1x+m1,x2+y2=4,消去y并整理得(k12+1)x2+2k1m1x+m12-4=0,则Δ=(2k1m1)2-4(k12+1)(m12-4),由①得m12=3k12+1,代入上式整理得Δ=4k12+12>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-2k1m1k12+1,x1x2=m12-4k12+1,所以kOP·kOQ=y1x1·y2x2=(k1x1+m1)(k1x2+m1)x1x2=k12x1x2+m1k1(x1+x2)+m12x1x2=k12·m12-4k12+1+m1k1(-2k1m1k12+1)+m12m12-4k12+1=m12-4k12m12-4,将m12=3k12+1代入上式,得kOP·kOQ=3k12+1-4k123k12+1-4=-13.当直线PQ的斜率不存在时,不妨设点P在第一象限,则P(3,1),所以kOP=33,易知Q(3,-1),kOQ=-33,所以kOP·kOQ=-13.综上可知,kOP·kOQ=-13.第10页共10页
