第十章 圆锥曲线与方程第三讲 抛物线1.[2021合肥调研]已知P为抛物线y2=4x上一点,Q为圆(x-6)2+y2=1上一点,则|PQ|的最小值为( )A.21-1B.2-55C.25-1D.21-452.[2021湖南模拟]已知抛物线C:y2=2px(p>0),倾斜角为π6的直线交C于A,B两点.若线段AB中点的纵坐标为23,则p的值为( )A.12B.1C.2D.43.[2020合肥市调研检测]设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F的坐标为(1,0).若该抛物线上两点A,B的横坐标之和为5,则弦AB的长的最大值为( )A.8B.7C.6D.54.[2020长春市第一次质量监测]已知椭圆x24+y23=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B(A在x轴上方)两点,则|AF||BF|的值为( )A.3B.2C.3D.45.[2020安徽皖中名校二联]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用,书中把直角三角形的两条直角边分别称为“勾”“股”,把斜边称为“弦”.设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若Rt△ABC的“勾”|AB|=3,“股”|CB|=33,则抛物线的方程为( )A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6x6.[2019东北三省四市一模]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A,B两点,若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=43,则抛物线C的准线方程为( )A.x=-1B.x=-2C.x=-32D.x=-37.[2021江西红色七校第一次联考]已知抛物线y2=4x的焦点为F,P为抛物线上一动点,点A(1,1),当△PAF的周长最小时,PF所在直线的斜率为 . 8.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=1∶2,则实数a的值为 . 第10页共10页\n9.[2021陕西省部分学校摸底检测]已知椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的离心率为32,右顶点为P(a,0),P是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若C上存在两动点A,B(A,B在x轴两侧),满足OA·OB=20(O为坐标原点),且△PAB的周长为2|AB|+4,求|AB|.10.[2020广东模拟]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3.(1)求抛物线C的方程;(2)已知点P在抛物线C上且异于原点,点Q为直线x=-1上的点,且FP⊥FQ,求直线PQ与抛物线C的交点个数,并说明理由.11.[2021八省市新高考适应性考试]已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为( )A.x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=012.[2021山东青岛模拟]如图10-3-1,抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N,则△PMN的周长的取值范围是( )图10-3-1A.(6,12)B.(8,10)C.(6,10)D.(8,12)13.[2021长春市第一次质量监测]已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),且AB=4FB,则直线l的倾斜角为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3第10页共10页\n14.[2021洛阳市统考]已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,过F且倾斜角为π4的直线l与抛物线C交于A,B两点,点D为抛物线C上的动点,且点D在l的右下方,则△DAB面积的最大值为( )A.162B.122C.82D.6215.[2020唐山市摸底考试]已知F为抛物线T:x2=4y的焦点,直线l:y=kx+2与T相交于A,B两点.(1)若k=1,求|FA|+|FB|的值;(2)点C(-3,-2),若∠CFA=∠CFB,求直线l的方程.16.[2020合肥市调研检测]已知抛物线E:y2=2px(p>2)的焦点为F,准线l与x轴交于点M,P(x0,4)为抛物线上一点,过P作PN⊥l,垂足为N,若四边形MFPN的周长为16.(1)求p的值;(2)过点M作直线交抛物线于点A,B,设直线FA,FB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.17.[新角度题]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P满足OP=λOF(O为坐标原点),若过点O作互相垂直的两弦OA,OB,则当弦AB恒过点P时,λ的所有可能取值的集合为( )A.{4}B.{3}C.{14,4,3}D.{13,3,4}第10页共10页\n18.[2021江西七校第一次联考]已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px上一点A到焦点F的距离为4,若点M为抛物线C准线上的动点,给出以下说法:①当△MAF为正三角形时,p的值为2;②存在M点,使得MA-MF=0;③若MF=3FA,则p=3;④若|OM|+|MA|的最小值为213,则p=4或12.其中正确的是( )A.①③④B.②③C.①③D.②③④19.[2020烟台市诊断性测试][递进型]已知F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点,点A(1,p),M为抛物线上任意一点,|MA|+|MF|的最小值为3,则抛物线方程为 ,若线段AF的垂直平分线交抛物线于P,Q两点,则四边形APFQ的面积为 . 答案第三讲 抛物线1.C 设点P的坐标为(14m2,m),易知圆(x-6)2+y2=1的圆心为A(6,0),所以|PA|2=(14m2-6)2+m2=116(m2-16)2+20≥20,所以|PA|≥25.因为点Q是圆(x-6)2+y2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为25-1.故选C.2.C 解法一 依题意,设直线AB的方程为y=33x+m,联立直线AB与抛物线的方程得y=33x+m,y2=2px,消去y并整理得x2+(23m-6p)x+3m2=0,Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6p-23m,y1+y2=33(x1+x2)+2m=23p,所以y1+y22=3p=23,解得p=2.故选C.解法二 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y1+y2=43,且y1-y2x1-x2=tanπ6=33.由y12=2px1,y22=2px2,得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),由题意知x1≠x2,所以(y1+y2)·y1-y2x1-x2=2p,所以43×33=2p,解得p=2.故选C.3.B 因为抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),所以p2=1,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由题意知x1+x2=5.连接AF,BF,则由抛物线的定义知|AF|=x1+p2=x1+1,|BF|=x2+p2=x2+1,则|AB|≤|AF|+|BF|=x1+x2+2=7,所以弦AB的长的最大值为7,故选B.第10页共10页\n4.C 设A(xA,yA),B(xB,yB),由题意知F(1,0),所以p2=1,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.过F且倾斜角为60°的直线的方程为y=3(x-1),代入抛物线方程,得3x2-10x+3=0,解得xA=3,xB=13.解法一 易得yA2=12,yB2=43,所以|AF||BF|=(3-1)2+12(13-1)2+43=3,故选C.解法二 由抛物线的定义,得|AF|=xA+p2=4,|BF|=xB+p2=43,所以|AF||BF|=3,故选C.5.B 依题意知,|AB|=3=|AF|,|AC|=|AB|2+|BC|2=6,所以点F是线段AC的中点,则p=12|AB|=32,于是抛物线的方程为y2=3x.故选B.6.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线C的焦点为(p2,0),知AF,BF的中点的纵坐标分别为y12,y22,则|MN|=|y22-y12|=12|y2-y1|=43,所以|y2-y1|=83.由题意知直线AB的方程为y=-3(x-p2),由y=-3(x-p2),y2=2px消去x得y=-3(y22p-p2),即3y2+2py-3p2=0,所以y1+y2=-23p,y1y2=-p2,由|y2-y1|=83,得(y2+y1)2-4y1y2=192,所以(-23p)2+4p2=192,解得p=6,则p2=3,所以抛物线C的准线方程为x=-3,故选D.7.-43 由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1,因为A(1,1),所以|AF|=1,△PAF的周长l=|PA|+|PF|+|AF|.过点P作准线x=-1的垂线,垂足为M,根据抛物线的定义可知|PM|=|PF|,则当A,P,M三点共线时,|PA|+|PM|最小,此时P点的纵坐标为1,代入抛物线的方程可得P点的横坐标为14,所以直线PF的斜率为1-014-1=-43.8.433 解法一 依题意得抛物线的焦点F的坐标为(a4,0),过M作抛物线的准线的垂线,垂足为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|.因为|FM|∶|MN|=1∶2,所以|KN|∶|KM|=3∶1,又kFN=0-1a4-0=-4a,kFN=-|KN||KM|=-3,所以-4a=-3,解得a=433.解法二 设M(xM,yM),因为A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F(a4,0),准线方程为x=-a4,所以直线AF的方程为4x+ay-a=0,所以N(-a4,2).因为|FM|∶|MN|=1∶2,所以|FM|=13|FN|,所以xM=a12,yM=23.因为点M(xM,yM)在抛物线上,所以49=a212,解得a=433.9.(1)因为椭圆E:x2a2+y2=1的离心率为32,所以a2-1a2=34,解得a2=4,所以a=2,所以p2=2,所以p=4,从而抛物线C的标准方程为y2=8x.(2)由题意知直线AB的斜率不为零,设直线AB:x=my+n(n≠2),代入y2=8x得y2-8my-8n=0,Δ=64m2+32n>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1y2<0,所以y1+y2=8m,y1·y2=-8n,则n>0且n≠2.因为OA·OB=20,第10页共10页\n所以OA·OB=x1x2+y1y2=y12y2264+y1y2=20,即n2-8n=20,所以(n-10)(n+2)=0,故n=10或n=-2(舍去),则直线AB:x=my+10.因为△PAB的周长为2|AB|+4,所以|PA|+|PB|+|AB|=2|AB|+4,即|PA|+|PB|=|AB|+4,因为|PA|+|PB|=x1+x2+4=m(y1+y2)+24=8m2+24,|AB|=1+m2|y1-y2|=1+m2·(8m)2+320,所以8m2+20=(1+m2)(64m2+320),解得m=±52,所以|AB|=(1+m2)(64m2+320)=30.10.(1)由题意知,抛物线C的准线方程为x=-p2,所以点E(2,t)到焦点F的距离为2+p2=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点.理由如下:设P(y024,y0),y0≠0,Q(-1,m).由(1)得焦点F(1,0),则FP=(y024-1,y0),FQ=(-2,m),由题意可得FP·FQ=0,故-2(y024-1)+my0=0,从而m=y02-42y0.故直线PQ的斜率kPQ=y0-my024+1=2y0.故直线PQ的方程为y-y0=2y0(x-y024),得x=y0y2-y024 ①.又抛物线C的方程为y2=4x ②,所以由①②得(y-y0)2=0,故y=y0,x=y024.故直线PQ与抛物线C只有一个交点.11.B 设B(b22,b),C(c22,c),则直线BC的方程为2x-(b+c)y+bc=0,直线AC的方程为2x-(2+c)y+2c=0,直线AB的方程为2x-(2+b)y+2b=0.因为直线AC与圆相切,所以|4+2c|4+(2+c)2=1,化简得3c2+12c+8=0.同理,3b2+12b+8=0,则b,c是方程3t2+12t+8=0的两根,b+c=-4,bc=83.所以直线BC的方程为2x+4y+83=0,即3x+6y+4=0.第10页共10页\n12.B 由题意可得抛物线E的焦点为(0,1),圆M的圆心为(0,1),半径为4,所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点,故|NM|等于点N到准线y=-1的距离,又PN∥y轴,设NP与抛物线的准线y=-1交于点H,由抛物线定义可得,|MN|=|NH|,故△PMN的周长l=|PM|+|PN|+|NH|=|PH|+4,由x2=4y,x2+(y-1)2=16,得y=3,又点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,所以|PH|的取值范围是(4,6),所以△PMN的周长的取值范围是(8,10),故选B.13.C 解法一 由题意知,抛物线的焦点为F(p2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则AB=(x2-x1,y2-y1),FB=(x2-p2,y2).因为AB=4FB,所以x2-x1=4(x2-p2),y2-y1=4y2,即x1=2p-3x2,y1=-3y2①.又y12=2px1,y22=2px2②,由①②解得y1=3p,y2=-33p,所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2py1+y2=3,所以直线l的倾斜角为π3,故选C.解法二 设抛物线的准线为直线l',如图D10-3-2,过点A,B分别作AM⊥l',BN⊥l',垂足分别为M,N,过点B作BC⊥AM于C,则由抛物线的定义,知|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.因为AB=4FB,所以|AF|=34|AB|,|FB|=14|AB|,所以|AC|=|AM|-|BN|=|AF|-|FB|=12|AB|,所以在Rt△ABC中,∠ABC=π6,∠BAC=π3.因为AM∥x轴,所以∠AFx=∠BAC=π3,所以直线l的倾斜角为π3,故选C.图D10-3-214.A 因为直线l的倾斜角为π4,所以直线l的斜率k=tanπ4=1.由题意知抛物线的焦点为F(0,2),所以直线l的方程为y=x+2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x+2x2=8y,消去x,得y2-12y+4=0,所以y1+y2=12.由抛物线的定义,得|AB|=y1+y2+p=12+4=16.设与直线l平行的直线方程为y=x+m,代入抛物线的方程可得y2-(2m+8)y+m2=0,当直线y=x+m与抛物线相切且D为切点时,D到直线l的距离最大,即△DAB的面积最大.所以Δ=(2m+8)2-4m2=0,解得m=-2,此时直线l与直线y=x+m的距离d=|-2-2|2=22,所以△DAB面积的最大值为12×16×22=162,故选A.15.由已知可得F(0,1),设A(x1,x124),B(x2,x224),由y=kx+2,x2=4y,得x2-4kx-8=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-8.第10页共10页\n(1)|FA|+|FB|=x124+1+x224+1=(x1+x2)2-2x1x24+2=4k2+6.当k=1时,|FA|+|FB|=10.(2)由题意可知,FA=(x1,x124-1),FB=(x2,x224-1),FC=(-3,-3).由∠CFA=∠CFB得cos<FA,FC>=cos<FB,FC>,即FA·FC|FA||FC|=FB·FC|FB||FC|,又|FA|=x124+1,|FB|=x224+1,所以-3x1-3(x124-1)32(x124+1)=-3x2-3(x224-1)32(x224+1),化简并整理得4+2(x1+x2)-x1x2=0,即4+8k+8=0,解得k=-32,所以直线l的方程为3x+2y-4=0.16.(1)∵点P(x0,4)在抛物线上,∴16=2px0 ①.由四边形MFPN的周长为16得,p+4+2(x0+p2)=16,即x0+p=6 ②.由①②可解得p=4或p=2.∵p>2,∴p=4.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my-2,代入抛物线方程得y2=8(my-2),得y2-8my+16=0.由Δ=64m2-64>0得,m2>1,且y1+y2=8m,y1y2=16,∴k1+k2=y1x1-2+y2x2-2=y1(my2-4)+y2(my1-4)(x1-2)(x2-2)=2my1y2-4(y1+y2)(x1-2)(x2-2)=0.17.A 解法一 由OP=λOF,得O,P,F三点共线,所以点P在x轴上.设直线AB的方程为x=my+a(a≠0),联立直线AB和抛物线的方程得x=my+a,y2=2px,消去x并整理,得y2-2pmy-2pa=0,Δ=4p2m2+8pa>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-2pa,x1x2=y122p×y222p=a2.因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,则x1x2+y1y2=0,即a2-2pa=0,解得a=2p或a=0(舍去),则直线AB的方程为x=my+2p,可知直线AB恒过定点(2p,0),即P(2p,0).则OP=(2p,0),OF=(p2,0),由OP=λOF,得λ=4.故选A.解法二 由OP=λOF,得O,P,F三点共线,所以点P在x轴上.由题意知,两弦OA,OB互相垂直,根据抛物线的两垂直弦的性质(抛物线y2=2px(p>0)中,若过坐标原点O作互相垂直的两弦OA,OB,则直线AB恒过定点(2p,0).)可知直线AB恒过定点(2p,0),即P(2p,0).第10页共10页\n则OP=(2p,0),OF=(p2,0),由OP=λOF,得λ=4.故选A.18.C 对于①,当△MAF为正三角形时,|AF|=|AM|=|MF|=4,如图D10-3-3所示,设抛物线C的准线交x轴于点N,则由抛物线的定义知AM与准线垂直,在正三角形MAF中,∠AMF=60°,所以∠FMN=30°,所以|NF|=12|MF|,而|NF|=p,所以p=12|MF|=2,故①正确;图D10-3-3对于②,假设存在M点,使得MA-MF=0,即MA=MF,则点A,F重合,与已知条件矛盾,所以②不正确;对于③,若MF=3FA,则|MF|∶|MA|=3∶4,如图D10-3-4,过点A作抛物线C的准线的垂线并交准线于点E,设准线交x轴于点B,由抛物线的定义可知|AE|=|AF|=4,易知△MFB∽△MAE,则|MF||MA|=|FB||AE|,即34=p4,解得p=3,所以③正确;图D10-3-4对于④,如图D10-3-5,作O关于抛物线C的准线的对称点O'(-p,0),连接AO'交准线于点M,过点A作抛物线C的准线的垂线并交准线于点D,由对称性知,(|OM|+|MA|)min=|AO'|,由抛物线的定义可知|AD|=|AF|=xA+p2=4,则xA=4-p2,代入抛物线C的方程,得yA2=2p(4-p2),所以|AO'|2=(xA-xO')2+yA2=(4+p2)2+2p(4-p2)=-34p2+12p+16=(213)2,化简可得p2-16p+48=0,解得p=4或p=12.当p=12时,|OF|=p2=6>|AF|=4,所以p=12不符合题意,所以p=4,所以④不正确.第10页共10页\n图D10-3-5综上所述,正确的为①③,故选C.19.x2=4y 43 设抛物线的准线为l,其方程为y=-p2,①当A(1,p)在抛物线内部时,过点M作MN⊥l于点N,则|MN|=|MF|,连接AN,所以|MA|+|MF|=|MA|+|MN|≥|AN|≥p+p2=3,所以p=2,当且仅当A,M,N三点共线时等号成立,经验证满足条件.②当A(1,p)在抛物线外部时,|MA|+|MF|≥|AF|=1+p24,所以1+p24=3,解得p=42,此时抛物线方程为x2=82y,A(1,42)不在抛物线外部,不满足条件.故抛物线方程为x2=4y,易得A(1,2),F(0,1),|AF|=2,AF的中点坐标为(12,32),直线AF的斜率为1,则直线AF的垂直平分线方程为y-32=-(x-12),即y=-x+2,联立得y=-x+2,x2=4y,消去y,得x2+4x-8=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1,2=-2±23,所以|PQ|=1+(-1)2×(x1-x2)2=46,所以四边形APFQ的面积为12|PQ|·|AF|=12×46×2=43.第10页共10页
